Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения

N

Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференцировать почленно любое число раз:

n

Ряд Тейлора. Если действительная функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производные всех порядков, то ее рядом Тейлора называется степенной ряд, коэффициенты которого имеют вид a_n = , т.е.

.

Если функция f(x) представима в некоторой окрестности заданной точки х₀ степенным рядом, т.е. представима в виде в этой окрестности, то такой ряд единствен и является ее рядом Тейлора в точке х₀, т.е. n

Если на интервале (x₀ – h, x₀ + h) все производные заданной функции f(x) ограничены по совокупности, т.е. если существует число А > 0 такое, что | f⁽ⁿ⁾(x) | £ A для всех n = 0, 1, 2, … и х Î (x₀ – h, x₀ + h), то записанный в этой точке ряд Тейлора сходится к f(x) для всех х, таких что | x – x₀ | < h, т.е. имеет место формула n

Ряд Маклорена. Он получается из ряда Тейлора, если в качестве центра степенного ряда взять х₀ = 0, т.е. ряд Маклорена для функции, имеющей в точке х₀ = 0 производные всех порядков, имеет вид:

.

Пример 3.11.

Для |x| £ 1 функция arctg x разлагается в ряд Маклорена

,

откуда при х = 1 получаем

.

Для –1 < x £ 1 функция ln (1+x) разлагается в ряд Маклорена

,

откуда при х = 1 получаем

.

Для любого действительного х функция разлагается в ряд Маклорена

,

после чего эта функция легко интегрируется как ряд, почленно; дело в том, что интеграл

не берется в квадратурах, но с помощью ряда Маклорена получаем для любого х:

n

Термин «дифференциальные уравнения» был предложен Г. Лейбницем. Первые исследования обыкновенных дифференциальных уравнений были проведены в конце XVII века. Эти исследования зародились в рамках математического анализа. Простейшей задачей на решение дифференциальных уравнений является задача нахождения первообразной для заданной функции.

Дата добавления: 2014-12-29