Степенные ряды

N

Свойства равномерно сходящихся рядов

Если функциональные ряды и равномерно сходятся на множестве Х, а l и m – произвольные числа, то ряд

также равномерно сходится на Х. n

Если функциональный ряд , составленный из непрерывных на множестве Х функций f_n(x), n = 1, 2, …, равномерно сходится на Х, то его сумма непрерывна на Х, т. е. для любой точки х₀ Î Х возможен почленный переход к пределу:

Если члены функционального ряда интегрируемы по Риману на отрезке [a, b], а сам ряд равномерно сходится на [a, b], то его сумма также интегрируема по Риману на [a, b] и для любого х Î [a, b] имеет место равенство

,

причем ряд, стоящий в правой части равенства, сходится равномерно на [a, b]. Иными словами, равномерно сходящийся на [a, b] ряд можно интегрировать почленно. n

Если члены функционального ряда непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], сам ряд сходится в некоторой точке этого отрезка, а функциональный ряд, составленный из производных f'_n(x), n = 1, 2, …, т.е. равномерно сходится на отрезке [a, b], то исходный ряд также равномерно сходится на [a, b], а его сумма непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] и

,

т.е. исходный функциональный ряд можно дифференцировать почленно. n

Таким образом, наличие свойства равномерной сходимости у рядов позволяет перенести на эти ряды некоторые правила действия с конечными суммами – возможность почленно интегрировать и дифференцировать.

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды, имеющие вид

,

где а _n – действительные числа, называемые коэффициентами ряда, n =0, 1, 2, …, а число х ₀ называется центром степенного ряда. Таким образом, членами степенных рядов являются степенные функции.

Существует число r, 0 £ r £ ¥, называемое радиусом сходимости степенного ряда такое, что при | x – x₀ | < r ряд сходится, а при | x – x₀ | > r – расходится. При x=x₀+r и x=x₀ – r степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. n

Интервал (x₀ – r, x₀ + r) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда может быть вычислен по формуле: если , то . При этом считается, что при q = 0 r = ¥, а при q = ¥ r = 0.n

Пример 3.10.

Ряд имеет радиус сходимости r=1, поскольку .

Ряд имеет радиус сходимости r=¥, поскольку .

Ряд расходится в граничных точках x = x₀ +1 и x = x₀ – 1 интервала сходимости.

Ряд имеет радиус сходимости r=1, поскольку ; в граничной точке x = x₀ + 1 он расходится (гармонический ряд), а в граничной точке x = x₀ – 1 сходится (признак Лейбница).

Ряд имеет радиус сходимости r = 1, поскольку ; в обеих граничных точках интервала сходимости х = х₀ ± 1 этот ряд сходится абсолютно. n

В каждой внутренней точке интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно. Во всяком замкнутом промежутке, который целиком лежит в интервале сходимости, степенной ряд сходится равномерно. n

Если два степенных ряда и имеют один и тот же интервал сходимости и во всех его точках имеют одинаковые суммы, то эти ряды совпадают, т.е. а_n = b_n, , n = 0, 1,2. … n

Сумма s(x) степенного ряда, , для всех значений х из интервала сходимости (x₀ – r, x₀ + r) есть непрерывная функция. n

Степенной ряд всегда можно почленно интегрировать на любом отрезке [ x₁, x₂ ] из интервала сходимости [ x₁, x₂ ] Ì (x₀ – r, x₀ + r):

Дата добавления: 2014-12-29