КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные уравнения первого порядка
Мы остановимся здесь на важном частном случае обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка – линейных уравнениях первого порядка. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида y' + p(x) ×y = q(x), (4.2) где p(x) и q(x) – заданные непрерывные функции. Линейными такие уравнения называют потому, что и производная, и неизвестная функция входят в них в виде линейной комбинации.
Если в (4.2), то уравнение (4.2) называют неоднородным. В противном случае, т.е. когда q(x) º 0, получаем однородное линейное уравнение первого порядка. Изложим метод решения уравнений вида (4.2), известный как метод вариации постоянной. 1. Вначале рассматривается однородное уравнение y' + p(x) ×y = 0. После разделения переменных получаем или . Интегрируя обе части этого уравнения по х, имеем . В неопределенном интеграле справа фиксируем произвольную первообразную P(x), так что P'(x) = - p(x), и запишем или где – некоторая постоянная. Нетрудно убедиться, что функция y(x)= CeP(x) удовлетворяет однородному уравнению, т.е. является его общим решением, поскольку С – произвольно. Действительно, C×eP(x) × P'(x) + p(x) × C × eP(x) = 0, ибо P'(x) = - p(x).
2. Общее решение неоднородного уравнения (4.2) будем искать в виде yн(x) = C(x) × eP(x), т.е. в виде общего решения однородного уравнения y(x) при условии, что С является не константой, а функцией х; в этом и заключается идея метода вариации постоянной. Для функции С(х) получаем следующее уравнение: yн' + p(x) × yн = C'(x)eP(x) + C(x)eP(x) × (-p(x)) + p(x) × C(x) × eP(x) = q(x), C'(x) = q(x) × e-P(x). Интегрируя обе части уравнения по х, получаем . Отсюда общее решение исходного неоднородного уравнения (4.2) имеет вид (4.3) или окончательно:
yн(x) = eP(x) [Q(x) + C], где Q(x) – некоторая фиксированная первообразная функции e-P(x) q(x), т.е. Q'(x) = e-P(x) q(x), а С – произвольная постоянная. Непосредственной проверкой, т.е. подставляя выражение для yн(x) в уравнение (4.2), убеждаемся, что yн(x) является общим решением этого уравнения. Действительно, yн'(x) + p(x) × yн(x) = eP(x) × P'(x) [Q(x) + C] + eP(x) ×Q'(x) +p(x)eP(x) [Q(x) + C] = = <P'(x) = - p(x)> = eP(x) × Q'(x) = eP(x) e-P(x) × q(x) = q(x). n При решении конкретных задач на интегрирование линейных уравнений первого порядка можно пользоваться как выведенными в этом разделе общими формулами, так и применять метод вариации постоянной непосредственно, не используя общих формул. Пример 4.1. Применим общие формулы к линейному уравнению y'+2y=x. Здесь p(x)º 2, q(x)=x. Общее решение задается формулой (4.3), которая в нашем случае принимает вид , где P(x) – произвольная первообразная от функции -p(x)º -2. Выбирая в качестве первообразной функцию P(x) = -2x, получаем, беря интеграл по частям, n Пример 4.2. Применим метод вариации постоянной непосредственно к уравнению
1. Решаем однородное уравнение y'+xy=0. После разделения переменных имеем или ( ln y)' = -x. Интегрируя обе части этого уравнения, получаем или где – произвольная постоянная. 2. Ищем общее решение неоднородного уравнения в виде , где С(х) - неизвестная функция. Для ее определения подставим общее решение в исходное уравнение. Получаем
т.е. С'(x)=2. Отсюда С(х)=2х+С. Окончательно получаем общее решение исходного уравнения в квадратурах n Анализируя вопрос о существовании общего решения в квадратурах для уравнения (4.2), мы видим, что дело сводится к существованию в квадратурах двух интегралов: и , где P(x) – первообразная для функции – p(x). Ясно, что такое решение существует не всегда. Пример 4.3. Рассмотрим линейное уравнение первого порядка y' – 2x × y = 1. Здесь – p(x) = 2x, q(x) º 1. Легко видеть, что интеграл I1
интегрируется в квадратурах и равен х2 + А. Полагая для простоты А = 0, т.е. P(x) = x2, получаем второй интеграл I2 в виде . Этот интеграл в квадратурах не берется. Общее решение (4.3) имеет, следовательно, такой вид: , т.е. не может быть записано в элементарных функциях. n
4.3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Если f(x) º 0, то уравнение (4.4) называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным. Общее решение неоднородного уравнения (4.4) yн(x) ищется в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения у(х), т.е ун(х)= + у(х). Общее решение однородного уравнения у(х) ищется с помощью решения характеристического уравнения. Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению , называется алгебраическое уравнение второго порядка, получающееся формальной заменой в однородном уравнении второй производной у" на z2, первой производной у' – на z, неизвестной функции y – на 1, т.е. уравнение вида z2+ pz+q= 0. Обозначим через z1 и z2 корни характеристического уравнения. Общее решение у(х), зависящее от двух произвольных параметров С1 и С2, строится в зависимости от значений корней следующим образом. 1. Если z1 и z2 - вещественные числа, z1 ¹ z2, то n 2. Если z1 и z2 – вещественные числа и z1 = z2 , то n 3. Если z1 и z2 – комплексные числа вида z1= a+ib, z2= a-ib, то n Частное решение неоднородного уравнения (4.4) ищется методом неопределенных коэффициентов в зависимости от конкретного вида правой части f(x). Рассмотрим четыре различных варианта, с которыми наиболее часто приходится иметь дело на практике. Вариант 1. Если f(x)=Pn(x) – многочлен порядка n, Pn(x)=a0xn+a1xn-1+......+an-1x+an, то частное решение ищется в виде = Qn(x)xr, где Qn – некоторый многочлен порядка n, коэффициенты которого подлежат определению, а r – число корней характеристического уравнения, равных 0. n Пример 4.4. Найти общее решение ун(х) уравнения у'' + 3y' = x2 + x +2. Cоставляем характеристическое уравнение z2 + 3z = 0; его корни: z1 = 0 и z2 = -3 - действительные, различные. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
y(x) = C1 + C2 e-3x. Частное решение исходного уравнения надо искать в виде , поскольку n=2 и r=1. Для определения коэффициентов А, В и С подставим в исходное уравнение, имея в виду, что , . Получаем 6Ах + 2В + 9Ах2 + 6Вх + 3С = х2 + х + 2. Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х в обеих частях равенства, получим систему трех уравнений для трех неизвестных:
Ее решением являются числа А=1/9, В = 1/18, С = 17/27. Итак, n Вариант 2. Если f(x) = eaxPn(x), то частное решение ищется в виде , где Qn(x) - многочлен той же степени, что и Pn(x), а r - число корней характеристического уравнения, равных a. Здесь, как и в первом варианте, подлежат определению коэффициенты многочлена Qn(x) n Пример 4.5. Найти общее решение ун(х) уравнения y'' - 3y' + 2y = ex(2 + x). Характеристическое уравнение для этого случая: z2-3z + 2 = 0. Его корни: z1 = 1, z2 = 2, т.е. действительные, различные. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид у(х) = С1 ех + С2 е2х. Частное решение исходного уравнения надо искать в виде , поскольку n = 1, a = 1, r = 1. Для определения коэффициентов А и В подставляем в исходное уравнение, предварительно определив
Получаем после сокращения на ех следующее равенство: Ах2 + (4А + В)х + 2А + 2В - 3Ах2 - 3(В + 2А)х - 3В + 2Ах2 +2Вх = 2 + х. После приведения подобных членов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства; получаем систему двух уравнений для А и В:
Ее решение имеет вид: А = -1/2, В = -3. Итак, n Вариант 3. Если f(x) = a cos bx+ b sin bx, где а,b и b – известные числа, то частное решение ищется в виде , где А и В – подлежащие определению коэффициенты, а r – число корней характеристического уравнения, равных ib n Пример 4.6. Найти общее решение ун(х) уравнения y'' + y = 3 cos x + 2 sin x. Характеристическое уравнение z2 + 1 = 0 имеет чисто мнимые корни z1 = i, z2 = -i; поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид у(х) = С1 cos x + C2 sin x. Частное решение исходного уравнения должно иметь вид , поскольку b = 1, r =1. Подсчитав подставим частное решение в исходное уравнение. Получаем равенство
2(В cos x - A sin x) + x(-B sin x - A cos x) + х(A cos x + B sin x) = 3 cos x + 2 sin x. Приведя подобные члены и приравняв коэффициенты при sin x и cos x в обеих частях этого равенства, получим систему двух уравнений для А и В:
откуда А = -1, В = 3/2. Итак, n Вариант 4. Если где Pn(x), Pm(x) - многочлены степеней n и m, соответственно, то частное решение ищется в виде , где Qs(x) и Rs(x) - многочлены степени s, s = max(n,m), а r - число корней уравнения, равных a+ i b. Определению подлежат коэффициенты обоих многочленов Qs(x) и Rs(x) n Пример 4.7. Найти общее решение ун(х) уравнения . Характеристическое уравнение z2 - 2z +2 = 0 имеет комплексные корни z1 = 1+i и z2 = 1-i, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид . Частное решение следует искать в виде , поскольку a =b = 1, r = 1, n = 1, m = 0 и s = 1. Подсчитаем производные:
Подставляя , и в исходное уравнение и группируя слагаемые с cos x и sin x отдельно, получаем после сокращения на ех следующее равенство: кккоторое после приведения подобных членов упрощается и принимает такой вид:
Приравнивая коэффициенты при cos x, х× cos x, sin x и х× sin x в обеих частях этого равенства, получаем систему из четырех уравнений относительно A,B,C,D:
откуда B = 0, C = 1/2, D = 1/4, A = 3/4. Итак, n Наконец, если f(x) = f1(x) + f2(x), где f1(x) и f2(x) имеют вид, соответствующий описанным выше конкретным вариантам, то частное решение ищется в виде , где – частное решение неоднородного уравнения y'+py'+qy=f1(x), а – частное решение неоднородного уравнения y''+py'+qy=f2(x) n
Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 446; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |