Функциональные ряды

N

Важную роль в теории рядов играют ряды с неотрицательными членами, , a_n ³ 0, n = 1, 2, ¼.

Для того, чтобы такой ряд сходился, необходимо и достаточно чтобы последовательность его частичных сумм {s_n} была ограничена сверху n

Если же он расходится, то его частичные суммы стремятся к бесконечности, . В этом случае принято использовать обозначение

.

Для рядов с неотрицательными членами ниже приводятся три признака сходимости.

Признак Д'Аламбера. Если для ряда существует такое число q,
0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

,

то данный ряд сходится; если же начиная с некоторого номера

,

то ряд расходится. n

Следствие. Если , то ряд сходится; если , то он расходится. Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться; ряды и удовлетворяют этому условию, причем первый ряд сходится, а второй – расходится. n

Интегральный признак сходимости. Если для ряда с убывающими неотрицательными членами a _n ³ a _n+1 ³ 0, n = 1, 2, ¼ существует функция f(x), определенная и убывающая при х ³ 1, значения которой в целочисленных точках совпадают с членами ряда, т.е. f(n) = a _n, n = 1, 2, ¼, то ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

n

Пример 3.4.

Рассмотрим ряд и функцию f(x) = . Поскольку

,

то этот ряд сходится. Гармонический ряд расходится, поскольку

n

Признак Коши. Если для ряда существует такое число q, 0 £ q <1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то этот ряд сходится. Если же, начиная с некоторого номера, имеет место неравенство , то ряд расходится n

Следствие. Если существует и строго меньше 1, то ряд сходится; если же этот предел строго больше 1, то ряд расходится n

Пример 3.5.

Ряд сходится, поскольку n

Важность роли рядов с неотрицательными членами следует из свойств абсолютно сходящихся рядов.

Ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд .

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле, причем его сумма не зависит от порядка следования слагаемых. n

Сходящийся, но не абсолютно сходящийся ряд называется условно сходящимся.

Сумма условно сходящегося ряда зависит от порядка его членов; по теореме Римана, каково бы ни было число А, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равна А. Более того, за счет перестановки членов ряда можно добиться того, чтобы последовательность частичных сумм была бы бесконечно большой, как со знаком «+», так и со знаком «-». n

Пример 3.6.

Ряд , рассмотренный в примере 3.3, является условно сходящимся, ибо гармонический ряд расходится. Если переставить его члены определенным образом, можно изменить значение суммы. Например,

,

где перестановка членов сделана по правилу: за двумя положительными следует один отрицательный, причем порядок положительных членов остается прежним; то же для отрицательных n

Таким образом, для условно сходящихся рядов не имеет места коммутативный закон сложения. Не для всех рядов оказывается справедлив и ассоциативный закон сложения.

Пример 3.7.

Мы рассмотрим расходящийся ряд, который за счет различных группировок его членов можно превратить в сходящийся, причем сумма ряда зависит от способа группировки.

В качестве исходного берем знакопеременный ряд

1 – 1 + 1 – 1 + ¼ + (-1)ⁿ⁺¹ +¼

Для него s₁ = 1, s₂ = 0, s₃ = 1, s₄ = 0 и вообще, s_{2n – 1} = 1,s_2n = 0, n = 1, 2, …, т.е. ряд расходится. При группировке его членов

(1 – 1) + (1 – 1) + …

получаем сходящийся ряд с суммой, равной 0, а при группировке

1 - (1 - 1) - (1 - 1) -…

получаем также сходящийся ряд, но с суммой, равной 1n

Функциональный ряд называется сходящимся на множестве X, xÎX, если при любом фиксированном x₀ Î X сходится числовой ряд , т.е. если при любом фиксированном x₀ Î X существует конечный предел . В этом случае определена функция s(x) на множестве Х, которая называется суммой функционального ряда

Множество Х, в каждой точке которого ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Ясно, что Х Í Х', где Х' – область определения членов ряда.

Пример 3.8.

Облаcтью сходимости ряда является вся действительная прямая (-¥, +¥), поскольку этот ряд сходится абсолютно при любом действительном х (убедиться самостоятельно, применив признак Д'Аламбера). Суммой этого ряда является функция e^x, т.е.

.

Ряд сходится только при х = 0; для любого иного действительного х этот ряд расходится. Следовательно, область сходимости ряда вырождается в точку {0}.n

На функциональные ряды нельзя непосредственно перенести свойства конечных сумм действительных функций. Так, конечная сумма непрерывных функций также непрерывна; для функциональных рядов это не так. Рассмотрим последовательность непрерывных на отрезке [0, 1] функций x^n-1×(x-1), n = 1, 2, … и составленный из них функциональный ряд

.

Этот ряд сходится в любой точке отрезка [0, 1], причем

т.е. сумма ряда s(x)является функцией, разрывной в точке х = 1. Для сохранения свойств функций – членов функционального ряда – требуется более сильное условие, чем просто сходимость ряда. Таким условием является равномерная сходимость ряда.

Функциональный ряд сходящийся на Х, х Î Х, сходится на Х равномерно, если для любого e > 0 существует номер N такой, что для всех n > N и всех х Î Х выполняется неравенство

|s_n(x) –s(x)| <e,

где s_n(x) – частичная сумма ряда порядка n, а s(x) – сумма ряда.

Формальная запись: "e $N "n "x n > N Ù хÎ Х Þ |s_n(x) –s(x)| <e

Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Для того, чтобы функциональный ряд

, х Î Х

равномерно сходился на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер N, что для всех n > N, целых p ³ 0 и х Î Х выполнялось неравенство

Формальная запись: " e $ N " n " p " x n > N Ù p ³ 0 Ù хÎ Х Þ n

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Если для функционального ряда , имеющего область сходимости Х, х Î Х, существует числовой сходящийся ряд такой, что для всех х Î Х

, n = 1, 2, …,

то исходный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве Х.n

Пример 3.9.

Рассмотрим функциональный ряд . Поскольку

, n = 1, 2, …

для всех действительных х, а числовой ряд сходится, то исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей действительной оси - ¥ < х < + ¥n

Дата добавления: 2014-12-29