Основные аксиомы математической логики

Среди булевых функций можно выделить функции, остающиеся истинными, вне зависимости от значений входящих в них элементов. Такие функции называются универсально истинными или тавтологиями[5].

Составное высказывание называется тождественно истинным (ложным) или тавтологией (противоречием), если оно истинно при всех значениях входящих в него элементарных высказываний.

В аксиоматической теории исчисления высказываний под высказыванием понимается формула для булевой функции, но понятие “истина” (тавтология) не определяются. Вместо них задаётся набор некоторых высказываний, объявленных аксиомами. Из аксиом и исходных высказываний (допущений), с помощью правил вывода строится последовательность высказываний, называемая выводом из допущений. Этот вывод из допущений называется доказательством, а высказывание в его конце – формально доказуемым или теоремой (╞). Выводимые и доказуемые высказывания являются истинами “аксиоматической” теории. Выбирая аксиомы и различные выводы можно построить различные логики.

Тавтологиями являются основные правила алгебры логики:

1) Х + 0=Х. 2) Х + 1=1. 3) Х+Х+Х=Х. 4) Х+ неХ = 1. 5) Х·0=0.

6)X · 1 = X. 7) Х·Х·Х = Х. 8) Х умножить на не Х=0. 9) Х = Х.

Примеры:

1. Доказать табличным способом соотношения

_____ _

a \/ b = ā /\ b

a b	a \/ b	___ a \/ b	ā	_ b	_ ā /\ b
0 0
0 1
1 0
1 1

2. Доказать теорему: ╞ (a → b) → (c \/ a) → (c \/ a).

Используем сокращённую таблицу истинности с учетом высказываний: b = ā + b; a ~ b = (a → b) /\ (b → a).

a	ā	a \/ b	a /\ b	a → b	b → a	a ~ b
		b			не b	не b
			b	b		b

a = 0 a = 1

(0 → b) → (c \/ 0 → c \/ b) (1 → b) → (c \/ 1 → c \/ b)

1 → (c → c \/ b) b → (1 → c \/ b)

c = 0c = 1b = 0b = 1

0 → 0 \/ b 1 → 1 \/ b 0 → 0 \/ c 1 → c \/ 1

1 1 1 1

Таким образом, высказывание становится истинным, так как истинны все входящие в него высказывания, и можно преобразовывать выражения естественного языка на логический язык:

_____ _ _ ____ _ _ _

А \/ В = А /\ В А /\ В = А \/ В А → В = А \/ В

IV. Логический вывод

Широкое применение основы логического вывода имеют в системах искусственного интеллекта (СИИ), и особенно в экспертных системах (ЭС). Это такие аппаратно-программные комплексы, которые способны проводить логические рассуждения в соответствующей предметной области не хуже специалиста на основе знаний (рис.3.4). Они обеспечивают решение сложных кибернетических задач, при этом вырабатывается решение, которое не было заложено в машину и получено только на основе заложенных стратегий (правил реакции на то или иное допущение).

Ядро ЭС

Рис. 3.4. Структура экспертной системы

Основными компонентами экспертных систем являются:

- база знаний;

- машина (механизм) логического вывода;

- модуль извлечения знаний;

- система объяснений.

База знаний содержит две компоненты:

- система утверждений (база фактов);

- система отношений (база правил).

Система отношений часто представляется в виде продукционных правил “если”, “то”, “иначе”. Они позволяют получать новые факты в ходе решения кибернетических задач. Факты могут меняться в ходе диалога. Правила – более долгосрочная информация о том, как порождать новые факты (гипотезы).

Механизм логического вывода (МЛВ)– содержит принципы и правила работы, определяет способ применения базы знаний, для решения конкретных задач, определяемых входными данными.

Представление задач (знаний) пространством состояний, представляет собой: описание всех состояний или только начальных, если пространство большое; задание операторов, отображающих одни состояния в другие и задание целевого состояния.

Работа МЛВ представлена

на рис.3.5.

Начальные состояния

описываемые фактами из базы знаний. МЛВ по правилам вывода обеспечивает нахождение решения (достижения цели). Поиск ведётся на основе интеллектуальных стратегий, некоторые из которых – эмпирические (не строгие с математической точки зрения).

- резольвента (промежуточное состояние)

Рис. 3.5. Сущность работы экспертных систем:

Такого рода описание базируется на знаниях процедур, декларативные части которых представлены продукционными правилами. Такие системы называются продукционными экспертными системами. Декларативные – это описания состояний и фактов. Процедурные – это описания правил перехода из одного состояния в другое. Целевые - это описания целевых состояний в форме продукционных правил.

Примеры правил

Для оценки надёжности вывода выполняются следующие действия:

1. Каждому факту ставится в соответствие свой весовой коэффициент.

Если (Р1 и Р2 и Р4) или Р3,то проведение учебных мероприятий.

Р1 – наращивание сил в районе; К1=0,8;

Р2 – увеличение нагрузки в сетях; К2=0,5;

Р3 – заявления официальных лиц; К3=0.9;

Р4 – сообщения в СМИ. К4=0,2

2. Вызывается решающее правило, в котором есть заданные исходные данные (формула).

3. Оценивается совместное действие нескольких правил, если несколько правил имеет результатом одно заключение. Здесь осуществляется переход от нечёткой логики к теории свидетельств. Вводятся коэффициенты уверенности – как разность между двумя мерами (доверия и недоверия).

где: Ку [h:l] – коэффициент уверенности в гипотезе h с учётом свидетельства l.

Диапазон значений Ку [h:l] = [-1; +1].

МД [h:l1,l2] = МД [h:l1] + МД [h:l2] * (1-МД [h:l1])

Мера доверия совокупности правил

Каждое правило снабжается коэффициентом ослабления [0÷1], этот коэффициент умножается на степень истинности правила в формулах оценки мер доверия.

Пример:

Если <условие1 = 0,5>, то <вывод 1 = 0,5> Косл = 0,64.

Если <условие 2 = 0,7>, то <вывод 2 = 0,7> Косл = 0,8

МД = [h: правило 1, правило 2] = 0,5*0,64 + 0,7*0,8(1- 0,5*0,64) =0,7.

Совокупности правил.

Косл – выражает степень ненадёжности правила.

Таким образом, для задания формальной (ФС) (экспертной) системы необходимо выполнение следующих условий:

1. Задано некоторое счётное множество символов, называемых выражениями этой системы (и, или, не, если, то, иначе).

2. Имеется множество выражений (правил) называемых формулами.

3. Выделено некоторое множество формул называемых аксиомами.

4. Имеется конечное множество отношений между формулами и аксиомами, называемыми правилами вывода. Это утверждения самого общего характера, о взаимосвязях между допущениями и заключениями, которые с позиций исчисления предикатов, всегда справедливы.

Формальные системы могут быть:

1. ФС исчисления высказываний (простых).

2. ФС исчисления предикатов 1 порядка (составных).

Предикат – функция от любого числа аргументов, принимающая значения “истина” или “ложь”. Пример: sin²x + cos²x = 1. X-свободная переменная, принимающая значения из множества комплексных чисел.

ФС исчисления предикатов – включают в составной частью ФС исчисления высказываний (простых), с добавлением сложных высказываний, истинность (ложность) которых проверяется истинностью (ложностью) составляющих его высказываний и выражаются истинностно-функциональными операциями и таблицами соответствующими им (См. табл.3.1).

Табл.3.1

А	В	Ā	А&В	А \/ В	А → В	А ≡ В
истина	истина	ложь	истина	истина	истина	истина
ложь	истина	истина	ложь	истина	истина	ложь
истина	ложь	ложь	ложь	истина	ложь	ложь
ложь	ложь	истина	ложь	ложь	истина	истина

As1: A → (B → A).

As2: (A → B) → (A → (B → C)) → (A→ C).

As3 A → (B → (A /\ B)).

As4 (A/\B) → A.

As5 (A/\B) → B.

As6 A → (A\/B).

As7 B → (A\/B).

As8 (A → C) → ((B → C) → (A\/B) → C).

_

As9 A → A.

A,B,C – произвольные высказывания. Подставляя вместо них конкретные высказывания получаем бесконечное множество аксиом.

Пример (по As1): А - земля мокрая, В – идёт дождь. Так как А-истинно, то первопричина тоже истинна: В → А.

(по As2): На частоте ХХХХХ отмечен радиообмен в звене «борт-земля». Объект принадлежит ВВС. Объект – стратегический бомбардировщик (СБ).

Основные допущения Дополнительные допущения:

частота ХХХХХ время сеанса связи, регламент р/c.

объект ВВС позывной

объет – СБ особенности радиообмена

А – в период времени ……. на частоте отмечена радиосвязь в звене «борт-земля»;

В – на частоте отмечен объект ВВС. Дополнительные допущения: регламент радиосвязи.

С- объект ВВС – стратегический бомбардировщик. Дополнительные допущения: позывной, время связи, особенности радиообмена.

Результат: А→ С. Вывод: на частоте ХХХХХ – СБ.

В качестве правила вывода в классической логике применяется правило Modus Ponens (MP) А → В

Дата добавления: 2014-12-29