Часть 3. Нейронные сети 3 страница

Пример. Пусть некоторая система описывается следующими нечеткими правилами:

П₁: если х есть А, тогда w есть D,

П₂: если у есть В, тогда w есть Е,

П₃: если z есть С, тогда w есть F,

где х, у и z – имена входных переменных, w – имя переменной вывода, а А, В, С, D, E, F – заданные функции принадлежности (треугольной формы).

Процедура получения логического вывода иллюстрируется рис. 1.9.

Предполагается, что входные переменные приняли некоторые конкретные (четкие) значения – x ₀, y ₀и z ₀.

В соответствии с приведенными этапами, на этапе 1 для данных значений и исходя из функций принадлежности А, В, С, находятся степени истинности α (x ₀), α (y ₀) и α (z ₀) для предпосылок каждого из трех приведенных правил (см. рис. 1.9).

На этапе 2 происходит «отсекание» функций принадлежности заключений правил (т.е. D, E, F) на уровнях α (x ₀), α (y ₀) и α (z ₀).

На этапе 3 рассматриваются усеченные на втором этапе функции принадлежности и производится их объединение с использованием операции max, в результате чего получается комбинированное нечеткое подмножество, описываемое функцией принадлежности µ _Σ(w) и соответствующее логическому выводу для выходной переменной w.

Наконец, на 4-м этапе – при необходимости – находится четкое значение выходной переменной, например, с применением центроидного метода: четкое значение выходной переменной определяется как центр тяжести для кривой µ _Σ(w) т. е.

.

Рассмотрим следующие наиболее часто используемые модификации алгоритма нечеткого вывода, полагая, для простоты, что базу знаний организуют два нечетких правила вида:

П₁: если х есть A₁ и у есть B₁, тогда z есть C₁,

П₂: если х есть А₂ и у есть В₂, тогда z есть С₂,

где х и у – имена входных переменных, z – имя переменной вывода, A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, С₂ – некоторые заданные функции принадлежности, при этом четкое значение z ₀необходимо определить на основе приведенной информации и четких значений x ₀ и у ₀.

1.5.1. Алгоритм Mamdani. Данный алгоритм соответствует рассмотренному примеру и рис. 1.9. В рассматриваемой ситуации он математически может быть описан следующим образом.

Нечеткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: A₁(x ₀), А₂(x ₀), B₁(y ₀), В₂(у ₀).

Нечеткий вывод: находятся уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил (с использованием операции МИНИМУМ)

,

,

где через « «обозначена операция логического минимума (min), затем находятся «усеченные» функции принадлежности

,

.

3. Композиция: с использование операции МАКСИМУМ (max, далее обозначаемой как « «) производится объединение найденных усеченных функций, что приводит к получению итогового нечеткого подмножества для переменной выхода с функцией принадлежности

.

4. Наконец, приведение к четкости (для нахождения z ₀ ) проводится, например, центроидным методом.

1.5.2. Алгоритм Tsukamoto. Исходные посылки – как у предыдущего алгоритма, но в данном случае предполагается, что функции C₁(z), C₂(z)являются монотонными.

Первый этап – такой же, как в алгоритме Mamdani.

На втором этапе сначала находятся (как в алгоритме Mamdani) уровни «отсечения» α ₁ и α ₂, а затем – посредством решения уравнений

α ₁ = С₁(z), α ₂ = С₂(z)

– четкие значения (z ₁и z ₂ ) для каждого из исходных правил.

3. Определяется четкое значение переменной вывода (как взвешенное среднее z₁ и z₂):

;

в общем случае (дискретный вариант центроидного метода)

.

Пример. Пусть имеем A₁(x ₀) = 0,7, А₂(x ₀) = 0,6, B₁(y ₀) = 0,3, B₂(y ₀) = 0,8, соответствующие уровни отсечения

α ₁ = min (A₁(x ₀), B₁(y ₀)) = min (0,7; 0,3) = 0,3,

α ₂ = min (A₂(x ₀), B₂(y ₀)) = min (0,6; 0,8) = 0,6

и значения z ₁ = 8 и z ₂ = 4, найденные в результате решения уравнений

C₁(z ₁)=0,3, C₂(z ₂)=0,6.

При этом четкое значение переменной вывода (см. рис. 1.10)

z₀ = (8∙0,3 + 4∙0,6)/(0,3 + 0,6) = 6.

1.5.3. Алгоритм Sugeno. Sugeno и Takagi использовали набор правил в следующей форме (как и раньше, приводим пример двух правил):

П₁: если х есть A₁ и у есть B₁, тогда z ₁ = а ₁ х + b ₁ y,

П₂: если х есть А₂ и у есть В₂, тогда z ₂ = а ₂ х + b ₂ у.

Представление алгоритма

1. Первый этап – как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе находятся , и индивидуальные выходы правил:

z *₁ = a ₁ x ₀ + b ₁ y ₀,

z *₂ = a ₂ x ₀ + b ₂ y ₀.

3. На третьем этапе определяется четкое значение переменной вывода:

.

Иллюстрирует алгоритм рис. 1.11.

1.5.4. Алгоритм Larsen. В алгоритме Larsen нечеткая импликация моделируется с использованием оператора умножения.

Описание алгоритма

Первый этап – как в алгоритме Mamdani.

На втором этапе, как в алгоритме Mamdani вначале находятся значения

,

,

а затем – частные нечеткие подмножества

α ₁C₁(z), α ₂C₂(z).

3. Находится итоговое нечеткое подмножество с функцией принадлежности

(в общем случае п правил .

4. При необходимости производится приведение к четкости (как в ранее рассмотренных алгоритмах).

Алгоритм Larsen иллюстрируется рис. 1.12.

1.5.5. Упрощенный алгоритм нечеткого вывода. Исходные правила в данном случае задаются в виде:

П₁: если х есть A₁ и у есть B₁, тогда z ₁= с ₁,

П₂: если х есть А₂ и у есть В₂, тогда z ₂= с ₂,

где с ₁и с ₂ – некоторые обычные (четкие) числа.

Описание алгоритма

1. Первый этап – как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе находятся числа , .

3. На третьем этапе находится четкое значение выходной переменной по формуле

или – в общем случае наличия п правил – по формуле

.

Иллюстрация алгоритма приведена на рис. 1.13.

1.5.6. Методы приведения к четкости

1. Выше уже был рассмотрен один из данных методов – центроидный. Приведем соответствующие формулы еще раз. Для непрерывного варианта:

;

для дискретного варианта:

.

2. Первый максимум (First-of-Maxima). Четкая величина переменной вывода находится как наименьшее значение, при котором

достигается максимум итогового нечеткого множества, т.е. (см. рис. 1.14 а)

.

3. Средний максимум (Middle-of-Maxima). Четкое значение находится по формуле

,

где G – подмножество элементов, максимизирующих С (см. рис. 1.14 б).

Дискретный вариант (если С – дискретно):

.

4. Критерий максимума (Max-Criterion). Четкое значение выбирается произвольно среди множества элементов, доставляющих максимум С, т. е.

.

5. Высотная дефазификация (Height defuzziflcation). Элементы области определения Ω, для которых значения функции принадлежности меньше, чем некоторый уровень α в расчет не принимаются, и четкое значение рассчитывается по формуле

,

где C α – нечеткое множество α -уровня (см. выше).

1.5.7. Нисходящие нечеткие выводы. Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключению. В последние годы в диагностических нечетких системах начинают применяться нисходящие выводы. Рассмотрим механизм подобного вывода на примере.

Возьмем упрощенную модель диагностики неисправности автомобиля с именами переменных:

х ₁– неисправность аккумулятора;

х ₂– отработка машинного масла;

y ₁– затруднения при запуске;

y ₂ – ухудшение цвета выхлопных газов;

y ₃ – недостаток мощности.

Между x_i и y_j существуют нечеткие причинные отношения , которые можно представить в виде некоторой матрицы R с элементами Конкретные входы (предпосылки) и выходы (заключения) можно рассматривать как нечеткие множества А и В на пространствах X и Y. Отношения этих множеств можно обозначить как

,

где, как и раньше, знак « «обозначает правило композиции не-четких выводов.

В данном случае направление выводов является обратным к направлению выводов для правил, т.е. в случае диагностики имеется (задана) матрица R (знания эксперта), наблюдаются выходы В (или симптомы) и определяются входы А (или факторы).

Пусть знания эксперта-автомеханика имеют вид

,

а в результате осмотра автомобиля его состояние можно оценить как

B = 0,9/ y ₁ + 0,1/ y ₂ +0,2/ y ₃.

Требуется определить причину такого состояния:

A = a ₁/ x ₁ + a ₂/ x ₂.

Отношение введенных нечетких множеств можно представить в виде

,

либо, транспонируя, в виде нечетких векторов-столбцов:

.

При использовании (max-min)-композиции последнеесоотношение преобразуется к виду

,

,

.

При решении данной системы заметим прежде всего, что в первом уравнении второй член правой части не влияет на правую часть, поэтому

, a ₁ ≥ 0,9.

Из второго уравнения получим:

, a ₂ ≤ 0,1.

Полученное решение удовлетворяет третьему уравнению, таким образом имеем:

0,9 ≤ a ₁ ≤ 1,0, 0 ≤ a ₂ ≤ 0,1,

т.е. лучше заменить аккумулятор (a ₁– параметр неисправности аккумулятора, а ₂– параметр отработки машинного масла).

На практике в задачах, подобных рассмотренной, количество переменных может быть существенным, могут одновременно использоваться различные композиции нечетких выводов, сама схема выводов может быть многокаскадной. Общих методов решения подобных задач в настоящее время, по-видимому, не существует.

1.6. Пример: нечеткий регулятор

Приведем еще один пример использования аппарата нечеткой логики, на этот раз – в задаче управления. Рассмотрим замкнутую систему регулирования, представленную на рис. 1.15, где через О обозначен объект управления, через Р – регулятор, а через и, у, е, х – соответственно, входной сигнал системы, ее выходной сигнал, сигнал ошибки (рассогласования), поступающий на вход регулятора, и выходной сигнал регулятора.

В рассматриваемой системе регулятор вырабатывает управляющий сигнал х в соответствии с выбранным алгоритмом регулирования, например, пропорционально сигналу ошибки, либо ее

интегралу и т. п. Покажем, что в данном случае для выработки такого сигнала применимы рассмотренные выше методы аппарата нечеткой логики.

Предположим, что функции регулятора выполняет микроконтроллер, при этом аналоговый сигнал е ограничен диапазоном [-1, 1] и преобразуется в цифровую форму аналого-цифровым преобразователем (АЦП) с дискретностью 0,25, а выходной сигнал регулятора х формируется с помощью цифроаналогового преобразователя и имеет всего 5 уровней: -1, -0,5, 0, 0,5, 1.

Принимая во внимание данные уровни, введем лингвистические переменные:

A₁: большой положительный,

А₂: малый положительный,

А₃: нулевой,

А₄: малый отрицательный,

А₅: большой отрицательный,

и на дискретном множестве возможных значений сигнала рассогласования е определим функции принадлежности так, как это приведено в табл. 1.4.

Предположим, далее, что функционирование регулятора определяется следующими правилами (надо сказать, типичными для задач управления):

П₁: если е = А ₃ и Δе = А ₃, то х = 0,

П₂: если е = А ₂ и Δе = А ₂, то х = -0,5,

П₃: если е = А ₄ и Δе = А ₄, то х = 1,

П₄: если е = А ₁ и Δе = А ₁, то х = -1,

где Δе – первая разность сигнала ошибки в текущий дискретный момент времени.

Таблица 1.4. Значения функций принадлежности

	-1	-0,75	-0,5	-0,25		0,25	0,5	0,75
А1(е) А2(е) А3(е) А4(е) А5(е)	0,3	0,7 0,7	0,3 0,3	0,7 0,7	0,3 0,3	0,7 0,7	0,3 0,3	0,7 0,7	0,3

Заметим, что набор правил может быть, вообще говоря, и каким-то другим. Если, например, используется упрощенный алгоритм нечеткого вывода, то при значениях, скажем, е = 0,25 и Δе = 0,5 имеем:

α ₁ = min (0,7; 0,3) = 0,3 и x ₁ = 0,

α ₂ = min (0,7; 1) = 0,7 и x ₂ = -0,5,

α ₃ = min (0; 0) = 0 и x ₃ = 1,

α ₄ = min (0; 0,3) = 0,3 и x ₄ = -1,

и выход регулятора

.

Аналогичным образом значения выходного сигнала регулятора рассчитываются при других значениях е и Δе.

Отметим, что при проектировании подобных («нечетких») регуляторов основным (и не формализуемым) этапом является задание набора нечетких правил. Другие аспекты: выбор формы функций принадлежности, алгоритма приведения к четкости и т. п. представляются задачами более простыми.

1.7. Эффективность систем принятия решений, использующих методы нечеткой логики

Возможность использования аппарата нечеткой логики базируется на следующих результатах.

1. В 1992 г. Wang показал, что нечеткая система, использующая набор правил

П₁: если x_i есть А _i и у_i есть В _i, тогда z_i есть С _i, i = 1, 2,..., n, при:

1) гауссовских функциях принадлежности

, ,

;

2) композиции в виде произведения

(A _i (x) and B _i (y)) = A _i (x) B _i (y);

3) импликации в форме (Larsen)

(A _i (x) and B _i (y)) → C _i (z) = A _i (x) B _i (y) C _i (z);

4) центроидном методе приведения к четкости

,

где α_i – центры С _i; является универсальным аппроксиматором, т.е. может аппроксимировать любую непрерывную функцию на компакте U с произвольной точностью (естественно, при n→∞).

Иначе говоря, Wang доказал теорему: для каждой вещественной непрерывной функции g, заданной на компакте U, и для произвольного ε > 0 существует нечеткая экспертная система, формирующая выходную функцию f (x) такую, что

,

где || ∙ || – символ принятого расстояния между функциями.

2. В 1995 г. Castro показал, что логический контроллер Маm-dani при:

1) симметричных треугольных функциях принадлежности:

2) композиции с использованием операции min:

(A _i (x) and B _i (y)) = min (A _i (x) B _i (y));

3) импликации в форме Mamdani и центроидного метода приведения к четкости:

,

где c _i – центры С _i; также является универсальным аппроксиматором.

Вообще говоря, системы с нечеткой логикой целесообразно применять для сложных процессов, когда нет простой математической модели; если экспертные знания об объекте или о процессе можно сформулировать только в лингвистической форме.

Данные системы применять нецелесообразно, когда требуемый результат может быть получен каким-либо другим (стандартным) путем, или когда для объекта или процесса уже найдена адекватная и легко исследуемая математическая модель.

Отметим, что основные недостатки систем с нечеткой логикой связаны с тем, что:

исходный набор постулируемых нечетких правил формулируется экспертом-человеком и может оказаться неполным или противоречивым;

вид и параметры функций принадлежности, описывающих входные и выходные переменные системы, выбираются субъективно и могут оказаться не вполне отражающими реальную действительность.

Дата добавления: 2014-12-29