Часть 3. Нейронные сети 2 страница

Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть А ₁, А ₂,..., А_п – нечеткие подмножества универсальных множеств E ₁, Е ₂,..., Е_п соответственно. Декартово, или прямое произведение является нечетким подмножеством множества с функцией принадлежности:

µ_A (x ₁, x ₂ ,…, x_n) = min (µ_A1 (x ₁), µ_A2 (x ₂),…, µ_Ai (x _n)).

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть А – нечеткое множество, Е – универсальное множество и для всех определены нечеткие множества К (х). Совокупность всех К (х)называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество вида

,

где µ_A (x) K (x) – произведение числа на нечеткое множество.

Пример. Пусть

E = {1, 2, 3, 4}; A = 0,8/1 + 0,6/2 + 0/3 +0/4; K (1) = 1/1 + 0,4/2;

K (2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; K (3) = 1/3 + 0,5/4; K (4) = 1/4.

Тогда

Четкое множество α-уровня (или уровня α). Множеством α-уровня нечеткого множества А универсального множества Е называется четкое подмножество А_α универсального множества Е, определяемое в виде

А_α = { x / µ_A (x) ≥ α },

где α ≤ 1.

Пример. Пусть A = 0,2/ x ₁ + 0/ x ₂ + 0,5/ x ₃ + 1/ x ₄, тогда

A _0,3 = { x ₃, x ₄}, A _0,7 = { x ₄}.

Достаточно очевидное свойство: если α ₁ ≥ α ₂, то A_{α 1} ≤ A_{α 2}

1.3. Нечеткая и лингвистическая переменные

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой , где

α – наименование переменной;

X – универсальное множество (область определения α);

А – нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. µ_A (x)) на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной (ЛП) называется набор , где

β – наименование лингвистической переменной;

T – множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество , где G (T) – множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов:

1) символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

2) пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм «Молодой», являющийся значением лингвистической переменной β = «возраст», одновременно есть и нечеткое множество М («Молодой»).

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная – 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной , где

β – толщина изделия;

Т – {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

X – [10, 80];

G – процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например: «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина» и т.д.;

М – процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А₁ = «Малая толщина», А₂ = «Средняя толщина», A₃ = «Большая толщина», а также нечетких множеств для термов из G (T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «не», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: и т. п.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной «Толщина» (Т = {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}) возможны значения, зависящие от области определения X. В данном случае значения лингвистической переменной «Толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», т.е. в виде нечетких чисел.

Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, приведенными на рис. 1.5 и 1.6.

1.3.1. Нечеткие числа

Нечеткие числа – нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности где х – действительное число, т.е. R.

Нечеткое число А нормально, если выпуклое, если для любых x ≤ y ≤ z выполняется

.

Множество α -уровня нечеткого числа А определяется как

Aα = { x / µ_A (x) ≥ α }.

Подмножество R называется носителем нечеткого числа А, если

S_A = { x / µ_A (x) > 0}.

Нечеткое число А унимодально, если условие µ_A (x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

.

Нечеткое число А положительно, если и отрицательно, если .

1.3.2. Операции над нечеткими числами. Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В – нечеткие числа, и – нечеткая операция, соответствующая произвольной алгебраической операции над обычными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначения вместо и вместо ) можно записать

.

Отсюда

,

,

,

,

,

,

.

1.3.3. Нечеткие числа (L-R)-типа. Нечеткие числа (L-R)-типа – это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x),удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x) = L(x), R(-x) = R(x);

б) L(0) = R(0).

Очевидно, что к классу (L-R)-функций относятся функции, графики которых имеют вид, приведенный на рис. 1.7.

Примерами аналитического задания (L-R)-функций могут быть

,

и т.д.

Пусть L(у) и R(у) – функции (L-R)-типa (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т. е. µ_A (a)=1) с помощью L(у) и R(у) задается следующим образом:

где а – мода; α > 0, β > 0 – левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(у) и R(у)нечеткое число (унимодальное) задается тройкой A = (a, α, β).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров A = (a ₁, a ₂, α, β) где а ₁и а ₂– границы толерантности, т.е. в промежутке [ а ₁, a ₂]значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены на рис. 1.8.

Отметим, что в конкретных ситуациях функции L(у), R(у), a также параметры α, β нечетких чисел (a, α, β) и (a ₁, a ₂, α, β) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(у) и R(у), а параметры α' и β' результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Возможное (L-R)-представление некоторых лингвистических переменных

Терм ЛП	(L-R)-представление	Графическое представление
Средний	А = (а, α, β)LR α = β > 0	α β
Малый	А = (а, ∞, β)LR α = ∞	α = ∞ β
Большой	А = (а, α, ∞)LR β = ∞	α β = ∞
Приблизительно в диапазоне	А = (а 1, а 2, α, β)LR α = β > 0	α β а 1 а 2
Определенный	А = (а, 0, 0)LR α = β = 0	α = 0 β = 0
Разнообразный: зона полной неопределенности	А = (а, ∞, ∞)LR α = β = ∞	α = β = ∞

1.4. Нечеткие отношения

Пусть – прямое произведение универсальных множеств и М – некоторое множество принадлежностей (например, М = [0, 1]). Нечеткое n -арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на Е, принимающее свои значения в М. В случае n = 2 и М = [0, 1] нечетким отношением R между множествами X = Е ₁и Y = Е ₂ будет называться функция которая ставит в соответствие каждой паре элементов величину .

Обозначение: нечеткое отношение на запишется в виде

.

В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры

1) Пусть X = { x ₁, x ₂, x ₃}, Y = { y ₁, y ₂, y ₃}, M = [0,1]. Нечеткое отношение R = XRY может быть задано, к примеру, табл. 1.3.

Таблица 1.3 Задание нечеткого отношения

	y 1	y 2	y 3	y 4
x 1 x 2 x 3		0,8 0,5	0,1 0,6	0,3 0,7

2) Пусть X = Y = (-∞, ∞) т. е. множество всех действительных чисел. Отношение x >> y (х много больше у)можно задать функцией принадлежности:

3) Отношение R, для которого , при достаточно больших k можно интерпретировать так: «х и у близкие друг к другу числа».

1.4.1. Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений R ₁ и R ₂. Объединение двух отношений обозначается и определяется выражением

.

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений R ₁и R ₂ обозначается и определяется выражением

.

Алгебраическое произведение двух отношений. Алгебраическое произведение двух отношений R ₁и R ₂ обозначается R ₁ ∙R ₂ и определяется выражением

.

Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений R ₁и R ₂ обозначается и определяется выражением

.

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

,

,

,

,

,

.

Дополнение отношения. Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

.

Дизъюнктивная сумма двух отношений. Дизъюнктивная сумма двух отношений R ₁и R ₂обозначается и определяется выражением

.

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть R – нечеткое отношение с функцией принадлежности Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением

По договоренности принимают µ _R (x, y) = 0 при µ_R (x, y) = 0,5.

Композиция (свертка) двух нечетких отношений. Пусть R ₁– нечеткое отношение между X и Y, и R ₂ – нечеткое отношение между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое определенное через R ₁и R ₂выражением

,

называется (max-min)-композицией ((max-min)-сверткой) отношений R ₁и R ₂.

Пример. Пусть

R 1	y 1	y 2	y 3
x 1 x 2	0,1	0,7 0,5	0,4

R 2	z 1	z 2	z 3	z 4
y 1 y 2 y 3	0,9 0,3 0,1	0,6		0,2 0,9 0,5

Тогда

	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1 x 2	0,3 0,9	0,6 0,5	0,1	0,7 0,5

При этом

;

;

……………………..

Замечание. В данном примере вначале использован «аналитический» способ композиции отношений R ₁и R ₂,т.е. i-я строка R ₁«умножается» на j -й столбец R ₂с использованием операции , полученный результат «свертывается» с использованием операции в µ (x_i, z_j).

Свойства (max-min) -композиции. Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

,

.

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если , то .

max- композиция. В выражении

для (max-min)-композиции отношений R ₁и R ₂операцию можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда

В частности, операция может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max-prod)-композиции.

1.5. Нечеткие выводы

Используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида:

П₁: если х есть A₁, тогда у есть B₁,

П₂: если х есть А₂, тогда у есть В₂,

……………………………………….

П _п:если х есть А _п, тогда у есть В _п,

где х – входная переменная (имя для известных значений данных), у – переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено); А и В – функции принадлежности, определенные соответственно на x и у.

Пример подобного правила

Если х – низко, то у – высоко.

Приведем более детальное пояснение. Знание эксперта отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому его можно назвать нечетким отношением и обозначить через R:

,

где « «называют нечеткой импликацией.

Отношение R можно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения полного множества предпосылок X и заключений Y. Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В' с использованием данного наблюдения А' и знания можно представить в виде формулы

,

где « «– введенная выше операция свертки.

Как операцию композиции, так и операцию импликации в алгебре нечетких множеств можно реализовывать по-разному (при этом, естественно, будет разниться и итоговый получаемый результат), но в любом случае общий логический вывод осуществляется за следующие четыре этапа.

Нечеткость (введение нечеткости, фазификация, fuzziflcation). Функции принадлежности, определенные на входных переменных применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила.

Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно используются только операции min (МИНИМУМ) или prod (УМНОЖЕНИЕ). В логическом выводе МИНИМУМА функция принадлежности вывода «отсекается» по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки правила (нечеткая логика «И»). В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ функция принадлежности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила.

Композиция. Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы формировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно используются операции max (МАКСИМУМ) или sum (СУММА). При композиции МАКСИМУМА комбинированный вывод нечеткого подмножества конструируется как поточечный максимум по всем нечетким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ»). При композиции СУММЫ комбинированный вывод нечеткого подмножества конструируется как поточечная сумма по всем нечетким подмножествам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода.

4. В заключение (дополнительно) – приведение к четкости (дефазификация, defuzziflcation), которое используется, когда полезно преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число. Имеется большое количество методов приведения к четкости, некоторые из которых рассмотрены ниже.

Дата добавления: 2014-12-29