Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Часть 3. Нейронные сети 1 страница




Введение. Основные понятия в теории нейронных сетей. элементы нечеткой логики.

Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных к рассуждениям человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

При обработке знаний с применением жестких механизмов формальной логики возникает противоречие между нечеткими знаниями и четкими методами логического вывода. Преодолеть это противоречие можно или путем преодоления нечеткости (когда это возможно) или с использованием методов представления и обработки нечетких знаний.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, № 8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0; 1], а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Он определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л. Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Дальнейшие работы профессора Л. Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.

Уже к 1990 г. по этой проблематике опубликовано свыше 10000 работ, а число исследователей достигло 10000, причем в США, Европе и СССР по 200-300 человек, около 1000 – в Японии, 2000 3000 – в Индии и около 5000 исследователей в Китае.

В последние 5-7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности и в военном деле. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсо- и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.

Другими словами, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории. В этом плане любопытна точка зрения Л. Заде: «Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными».

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем, таких как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.

Математическая теория нечетких множеств позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы.

Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

1.1. Нечеткие множества

Пусть Е – универсальное множество, х – элемент Е, a R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

,

где характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар

,

где характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М =[0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = { x1, x2, x3, x4, x5 }, М = [0,1]; А – нечеткое множество, для которого

μА (х 1) = 0,3; μА (х 2) = 0; μА (х 3) = 1; μА (х 4) = 0,5; μА (х 5) = 0,9.

 

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/ x1;0 /x2;1 /x3;0,5 /x4;0,9 /x5 },

или

А = {0,3/ x1 +0 /x2 +1 /x3 +0,5 /x4 +0,9 /x5 },

или

А = x1 x2 x3 x4 x5
0,3     0,5 0,9

 

Замечание. Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

1.1.1. Основные характеристики нечетких множеств. Пусть М = [0, 1] и А – нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М.

• Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (). При нечеткое множество называется субнормальным.

• Нечеткое множество пусто, если . Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Нечеткое множество унимодально, если μА (х) = 1 только на одном х из Е.

Носителем нечеткого множества А является обычное подмножество со свойством μА (х) > 0 т.е. носитель

Элементы для которых μА (х) = 0,5, называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

Пусть Е = {0, 1, 2,..., 10}, М = [0, 1]. Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4+1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8;

его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода – {3, 8}.

Пусть Е = {0, 1, 2, 3,..., п,...}. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

«Малый» = .

Пусть Е = {1, 2, 3,..., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е' = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции принадлежности μМолодой (х) на Е = {1, 2, 3,..., 100} (возраст), называемой по отношению к Е' функцией совместимости, при этом:

μМолодой (СИДОРОВ):= μМолодой (х),

где х – возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...} – множество марок автомобилей, а Е' = [0,∞) – универсальное множество «Стоимость», тогда на Е' мы можем определить нечеткие множества типа: «Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями принадлежности вида рис. 1.1.

 

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на универсальном множестве

Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...},

выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е – множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 + 1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

1.1.2. О методах построения функций принадлежности нечетких множеств.

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение µA (x) либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

 

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

 

       
х 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 х 8 х 9 высота лба профиль носа длина носа разрез глаз цвет глаз форма подбородка толщина губ цвет лица очертание лица низкий курносый короткий узкие светлые остроконечный тонкие темный овальное высокий горбатый длинный широкие темные квадратный толстые светлый квадратное

 

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает , формируя векторную функцию принадлежности { µA (x1), µA (x2), …, µA (x9)}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение µ лысый (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, µA (xi) = wi, i = 1,2,…, n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = { aij } где aij = wi/wj (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали aij = 1 /aij, т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот последний должен быть в 1/ α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw = λmaxw, где λmax – наибольшее собственное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Можно отметить еще два подхода:

использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-типa – см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;

использование относительных частот по данным эксперимента в качестве значений принадлежности.

1.2. Операции над нечеткими множествами

1.2.1. Логические операции

Включение. Пусть А и В – нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если .

Обозначение: .

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда , говорят, что В доминирует А.

Равенство. А и В равны, если .

Обозначение: А = В.

Дополнение. Пусть М = [0, 1], А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если .

Обозначение: или .

Очевидно, что (дополнение определено для М = [0, 1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).

Пересечение. – наибольшее нечеткое подмножество,

содержащееся одновременно в А и В:

.

Объединение. – наименьшее нечеткое подмножество,

включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

.

Разность. с функцией принадлежности:

.

Дизъюнктивная сумма

с функцией принадлежности:

.

Примеры. Пусть

A = 0,4/ x 1+0,2/ x 2+0/ x 3+1/ x 4;

B = 0,7/ x 1+0,9/ x 2+0,1/ x 3+1/ x 4;

C = 0,1/ x 1+1/ x 2+0,2/ x 3+0,9/ x 4.

Здесь:

1) т. е. А содержится в В или В доминирует А; С несравнимо ни с А, ни с В, т.е. пары { А, С } и { А, С } – пары недоминируемых нечетких множеств.

2) .

3) ;

.

4) .

5) .

6) ;

.

7) .

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения µA (x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс.

 

 

Такое представление делает наглядными простые логические операции над нечеткими множествами (см. рис. 1.3).

На рис. 1.3а заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.3 б, в, г даны .

Свойства операций

Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , где – пустое множество, т.е. ;

6) ;

7) , где Е – универсальное множество;

8) ;

9) – теоремы де Моргана.

 

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

,

(что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и ко-норм.

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция удовлетворяющая следующим условиям:

1) T (0,0) = 0; T (µA,1) = µA; T (1, µA) = µAограниченность;

2) T (µA, µB) ≤ T (µC, µD), если µAµC, µCµDмонотонность;

3) T (µA, µB) = T (µB, µA) – коммутативность;

4) T (µA, T (µB, µC) = T(T (µA, µB), µC) – ассоциативность.

Примеры треугольных норм

min (µA, µB)

произведение µA · µB

max (0, µA + µB - 1)

Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция со свойствами:

1) S (1,1) = 1; S (µA,0) = µA; S (0, µA) = µAограниченность;

2) S (µA, µB) ≥ S (µC, µD), если µAµC, µCµDмонотонность;

3) S (µA, µB) = S (µB, µA) – коммутативность;

4) S (µA, S (µB, µC) = S(S (µA, µB), µC) – ассоциативность.

Примеры t-конорм

max (µA, µB)

µA + µB - µA · µB

min (1, µA + µB).

1.2.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение А и В обозначается А·В и определяется так:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

Для операций выполняются свойства:

1) ;

2) ;

3) , , , ;

4) – теоремы де Моргана.

Не выполняются:

1) ;

2) ;

3) а также , .

Замечание. При совместном использовании операций выполняются свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень α нечеткого множества А, где α – положительное число. Нечеткое множество Aα определяется функцией принадлежности µAα = µAα (x) Частным случаем возведения в степень являются:

1) CON(А) = А 2– операция концентрирования (уплотнения);

2) DIL(А)= А 0,5– операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями (рис. 1.4).

Умножение на число. Если α – положительное число, такое, что , то нечеткое множество αA имеет функцию принадлежности:

.

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A 1, А 2, …, Ап – нечеткие множества универсального множества Е, а ω 1, ω 2, …, ω n – неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A 1, А 2, , Ап называется нечеткое множество А с функцией принадлежности:

µA (x 1, x 2, …, xn) = ω 1 µA1 (x) + ω 2 µA2 (x) +…+ ω n µAi (x).




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 473; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.