Проекция точки на прямую

Расстояние от точки до прямой

Точка пересечения прямых

Пусть две прямые заданы своими общими уравнениями:

,

Чтобы найти общую точку, необходимо решить систему двух уравнений с двумя переменными. , если система несовместна, то прямые параллельны.

Пусть заданы координаты точки и уравнение прямой : Ах+Ву+С=0

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую:

Пусть необходимо спроектировать точку на прямую Ах+Ву+С=0. проекцией точки на прямую является основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Нормалью к данной прямой является вектор . Составим уравнение проецирующей прямой. Она проходит через точку и параллельна вектору . Подставив координаты точки и вектора в каноническое уравнение прямой , получим: . Теперь необходимо найти координаты точки пересечения данной прямой и проектирующей, для чего объединим их в систему: решение этой системы есть координаты точки, являющейся проекцией точки на прямую

Пример: Даны вершины треугольника : ; ; . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

Решение: 1) Составим уравнение высоты , проходящей через точку перпендикулярно вектору :

; , .

Ответ: .

2) Составим уравнение стороны :

, , ,

.

Найдем точку пересечения высоты и стороны .Обозначим эту точку N, она является проекцией точки А на сторону ВС. Для нахождения точки N, решим следующую систему уравнений:

Ответ: N .

3) Найдем середину стороны :

, , , .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку М :

, , ,

.

Найдем середину стороны :

, .

, .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку N :

, , ,

.

Найдем точку О пересечения найденных медиан:

Ответ: О .

Плоскость

Дата добавления: 2014-12-29