Примеры решения задач. На основе известных кинематических уравнений, выражающих зависимость радиус-вектора или координат движущейся точки от времени

На основе известных кинематических уравнений, выражающих зависимость радиус-вектора или координат движущейся точки от времени, путем дифференцирования можно найти вектор скорости и его компоненты, а также и величину скорости. Двукратным дифференцированием кинематических уравнений мы получим зависимость от времени компонент ускорения. Данные задачи называются прямыми задачами кинематики.

Возможны также обратные задачи: по функциям, выражающим зависимость компонент ускорения, можно найти координаты точки в заданный момент времени. Эти задачи решаются интегрированием: однократное интегрирование дает зависимость от времени компонент скорости, двукратное – зависимость от времени координат. При этом в формулах появляются постоянные интегрирования, которые могут быть определены из так называемых начальных условий. Начальные условия – это параметры движения в некоторый определенный момент времени, например, начальный. Начальные условия должны быть заданы дополнительно, поскольку в противном случае задача становится неопределенной.

Приведем примеры решения прямых и обратных задач кинематики.

1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону . Определите:1) уравнение траектории материальной точки; 2) вектор скорости точки в зависимости от времени; 3) вектор ускорения точки в зависимости от времени; 4) модули скорости и ускорения точки в момент времени .

Решение

Из представленного уравнения вытекают следующие зависимости координат от времени

и .

Исключив из полученной системы уравнений время, найдем уравнение траектории материальной точки

.

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы.

Вектор скорости точки найдем, взяв производную от радиус-вектора по времени

.

Модуль скорости определим через его проекции на координатные оси

.

В момент времени 32,06 м/с.

Вектор ускорения получим, дифференцируя скорость по времени

.

Данный вектор направлен вдоль оси OY, а его величина не зависит от времени и равна 16 м/с².

2. Две материальные точки движутся по одной прямой, совпадающей осью OX. В начальный момент времени первая точка имела координату м, а вторая м. Скорости точек изменяются по законам

и ,

где , . Определить ускорения точек в момент их встречи.

Решение

Условием встречи является равенство координат точек. Поэтому определим интегрированием кинематические уравнения их движения

,

.

Константы С₁ и С₂ определим из начальных условий:

и С₁=0; и С₂=0. Тогда кинематические уравнения примут вид

,

.

Приравняем эти выражения в момент встречи

.

Выполнив преобразования, находим

.

Выбирая положительное значение корня, получим .

Ускорения первой и второй точек находим, взяв производные от скорости по времени

и .

Подставляя в эти уравнения значение времени встречи, получим ответ

, .

3. Тело брошено горизонтально со скоростью м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории тела через с после начала движения.

Решение

Выберем систему координат и покажем траекторию движения тела, его скорость, ускорение и их составляющие в некоторый момент времени t (рис.1.11).

Проекции скорости на координатные оси и ее величина в данный момент времени будут равны

, ,

.

Полное ускорение тела и его нормальная составляющая

, ,

где .

Произведя подстановку, получим окончательно

, R =140 м.

4. Ускорение парашютиста в затяжном прыжке из неподвижного вертолета изменяется по закону

,

где , . Через какое время после начала прыжка скорость парашютиста станет равной половине максимального значения? Постройте график зависимости скорости от времени

Решение

Зависимость скорости от времени парашютиста найдем путем интегрирования

Максимальное значение скорости определится из условия

при , следовательно .

Искомое время найдем из решения уравнения

.

После преобразования, получим

с.

График зависимости скорости от времени представлен на рис.1.12.

5. Скорость самолета при разгоне на взлетной полосе изменяется по закону

,

где , , - время от начала движения. Определите длину пути при разгоне, если он длился 10 с.

Решение

Длину пути при разгоне самолета определим интегрированием скорости в пределах от нуля до

.

Произведя вычисления, получим

S=1260 м.

Дата добавления: 2014-12-29