Пример Представление чисел в нормализованной форме

Проверка

делимое =1*2⁴ +0*2³ +0*2² +1*2¹ + 1*2⁰ +1*2^-1 +1*2^-2 +1*2^-3 +1*2^-4 =

= 19.9375

делитель =1*2² +1*2¹ + 1*2⁰ +0*2^-1 +1*2^-2 = 7.25

частное = 1*2¹ + 1*2⁰ +1*2^-1 +1*2^-2 = 2.75

Аналогично выполняются арифметические действия в системе счисления с любым основанием.

Составим таблицы сложения, вычитания и умножения в троичной системе счисления:

Таблица 4

+					-					*
			1)0			1)2
		1)0	1)1			1)1	1)2						1)1

Примечание В таблице сложения 1) - единица переноса в старший разряд, в таблице вычитания 1) - единица заёма из старшего разряда, в таблице умножения - единица переноса в старший разряд.

Пример

1123 + 22113 101003

10213 - 1023 2123

10213 * 201 3 + 1021 2112__ 2122213

20123│ 12 3__ ^- 12 _»102.213 ^- 101 ^- 101 ^- 12

3. Представление чисел в ЭВМ

3.1. Формы представления чисел в ЭВМ

В математике широко используются две формы записи чисел: естественная и нормальная.

Естественная форма. Число записывается в натуральном виде:

45670 - целое число;

0,0138 – правильная дробь;

7,128 –неправильная дробь.

Нормальная форма. Запись может быть различной в зависимости от ограничений, накладываемых на её форму.

645 = 6,45× 10²= 0,645× 10³= 645000× 10^-3

При естественном представлении чисел в ЭВМ устанавливаются длины разрядной сетки, а также целой и дробной частей. Распределение разрядов между целой и дробной частями не изменяется и остается постоянным независимо от величины числа. Поэтому эту форму называют представлением числа с фиксированной запятой.

В современных ЭВМ эта форма в основном используется для представления целых чисел. Так как числа бывают положительные и отрицательные, то один разряд отводится под знак, остальные образуют поле чисел. В знаковый разряд записывается информация о знаке числа (+® 0, - ® 1), знаковый разряд может быть расположен как в начале числа, так и в конце. Если поле включает n разрядов, диапазон представления целых чисел в этом случае ограничен значениями –(2 ⁿ -1) и (2ⁿ -1).

Представление числа в нормальной форме называют представлением числа с плавающей запятой. В нормальной форме запись числа имеет вид:

X=S^p× q, (7)

где q – мантисса числа, S^p – характеристика числа, p – порядок числа, S – основание характеристики. Мантисса числа q представляет собой дробь со знаком, порядок числа p – целое число со знаком, S – основание системы счисления. Знак числа совпадает со знаком мантиссы.

Чтобы избежать неоднозначности представления чисел, используют так называемую нормализованную форму, для которой справедливо следующее условие:

S^-1≤│q│< 1, (8)

где S – основание системы счисления.

0,000781₁₀ ® 0,781× 10^-3

1367,7₁₀ ® 0, 13677× 10⁴

X₁ = -10110,1111₂ ® -0,101101111× 2⁵

X₂ = +0,000110010111₂ ® +0,110010111× 2^-3

номер разряда

­

­

знак поле мантиссы знак поле порядка

мантиссы порядка

X1

X2

Рис.1

3.2. Целые беззнаковые двоичные числа

Формат целых двоичных чисел без знака имеет следующий вид.

n-1 n-2 1 0

Ù

Значок (Ù) обозначает местоположение двоичной точки. Все разряды числа являются значащими, а двоичная точка находится справа, или фиксирована после младшего значащего разряда. Такой формат называется форматом с фиксированной точкой. Следовательно, в этом формате представимы только целые числа 0,1,2, …2^n-1и любая комбинация битов (двоичный набор) является допустимой.

Целые беззнаковые числа при программировании используются для представления тех числовых объектов, которые принципиально не могут быть отрицательными: адреса ячеек памяти, номера строк исходной информации, счётчики повторений циклов.

В различных языках программирования для указания типа беззнаковых целых чисел применяются объявления типов BYTE (n=8), WORD (n=16), ADDRESS (n=16), UNSIGNED 9n=16) и др.

3.3. Целые знаковые двоичные числа

Для представления в ЭВМ положительных и отрицательных чисел один из разрядов необходимо отвести для изображения знака чисел S. Обычно им является старший (левый) бит. Стандартное кодирование знака имеет такой вид:

ì 0, если число положительное;

S = ç

î 1, если число отрицательное.

Знаковые числа длиной n бит представляются в следующем формате:

n-1 n-2 1 0

S

Ù

Знак Значащие биты

3. 4. Коды представления чисел в ЭВМ

Дляпредставления со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.

Общая идея построения кодов такова. Код трактуется как число без знака, а диапазон представляемых кодами чисел без знака разбивается на два поддиапазона. Один из них представляет положительные числа, а другой – отрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к поддиапазону определялась максимально просто. Очень удобно формировать коды так, чтобы значение старшего разряда указывало на знак представляемых чисел. Использование такого кодирования позволяет говорить о старшем разряде, как о знаковом, а об остальных как о цифровых разрядах кода, хотя, в общем, код трактуется как число без знака.

Дата добавления: 2014-12-29