Обчислювальний експеримент

Зауважимо, що тимчасова зміна залежності сили опору від швидкості з квадратичної (за алгоритмом) на пряму пропорційну
вимагає відповідної заміни формул для проекцій прискорення в
стовпцях F і G:

комірки	формули
F2	=- D2 ^ 1*(K$8*COS(E2*ПИ()/180)+K$9*SІN(E2*ПИ()/180))
G2	= -K$7 + D2 ^1 *(K$9*COS(E2*ПИ()/180)-K$8*SІN(E2*ПИ()/180))

Примітки.

– фрагмент «^1» можна не вводити, він записаний тільки з
метою показати зміни у формулах;

– уміст комірок F2 і G2 слід скопіювати у всі наступні рядки до самого низу таблиці.

У наступних обчислювальних експериментах знов будуть
розглянуті чотири випадки рухів тіл під дією сили тяжіння, але з урахуванням опору середовища; як і раніше, вони відрізнятимуться тільки початковими умовами:

1. Рух без початкової швидкості.

2. Рух з початковою швидкістю, напрямленою вниз.

3. Рух з початковою швидкістю, напрямленою вгору.

4. Рух з початковою швидкістю, напрямленою під кутом до горизонту.

1. Дослідимо рух тіла, яке з деякої висоти зі стану спокою починає рухатись вертикально вниз за наявності сили опору повітря.

Введемо вхідні дані:

x ₀ = 0, y ₀ = 100 м, v ₀ = 0, a₀ = 270°, g = 9,81 м/с², D t = 0,1 с.

Приймемо R = 0,6 (це значення збільшене проти реального з
метою зменшення кількості рядків таблиці).

Завдання. Встановіть розмірність коефіцієнта R.

Кількість рядків таблиці будемо обирати експериментально. При цьому критерій достатності визначатиметься змістом того конкретного питання, на яке ми шукатимемо відповідь.

Найбільший інтерес у розглядуваному русі являє питання про залежність швидкості від часу.

Виведемо на екран таблицю з новими даними і новими формулами (рис. 9.4).

	A	B	C	D	E	F	G	H	І	J
	t	vx	vy	v	a	ax	ay	x	y	Дано:
	0,0	0,00	0,00	0,00	270,0	0,00	-9,81	0,00	100,00	x 0 =
	0,1	0,00	-0,98	0,98	270,0	0,00	-9,22	0,00	99,90	y 0 =
	0,2	0,00	-1,90	1,90	270,0	0,00	-8,67	0,00	99,71	v 0 =
	0,3	0,00	-2,77	2,77	270,0	0,00	-8,15	0,00	99,43	a0 =
	0,4	0,00	-3,58	3,58	270,0	0,00	-7,66	0,00	99,08	D t =	0,1
	0,5	0,00	-4,35	4,35	270,0	0,00	-7,20	0,00	98,64	g =	9,81
	0,6	0,00	-5,07	5,07	270,0	0,00	-6,77	0,00	98,13	R =	0,6
	0,7	0,00	-5,75	5,75	270,0	0,00	-6,36	0,00	97,56	Q =
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Рис. 9.4

З таблиці бачимо, що проекції всіх векторів на вісь х, як і сама координата х, весь час дорівнюють нулю (стовпці B, F, H). Було б дивно, якби ми отримали щось інше.

Та головне полягає в тому, що модуль швидкості руху v весь час монотонно зростає, але спостерігаючи зміну швидкості за послідовні однакові проміжки часу, виявляємо, що темп цього зростання монотонно уповільнюється і швидкість перестає змінюватись. Отже рух за наявності опору середовища не є рівноприскореним, як цього і слід було чекати. Одночасно зі стовпця G для значень a_у видно, що
модуль цієї складової прискорення поступово зменшується, наближаючись до нуля. Це означає, що рух, врешті, перетворюється на рівномірний.

Кількість рядків таблиці має бути такою, щоб можна було бачити перехід у -координати через нуль (момент закінчення падіння).

Повчальним та інформативним щодо аналізу процесу є порівняння графіків залежності v_y та a_y від часу (рис. 9.5).

Рис. 9.5

До речі, саме у такий спосіб рухаються у повітрі парашутисти за відсутності вітру.

Наша модель може статись у нагоді для перевірки результату розв’язування цікавої фізичної задачі.

Задача. Чому при падінні зі стану спокою двох однакових за розмірами, але різних за масами кульок більшої кінцевої швидкості набуває кулька більшої маси?

Примітка. Умова однакових розмірів при різних масах означає, що кулька більшої маси має більшу середню щільність.

Розв’язування.

На кожну кульку під час падіння діють дві протилежно направ­лені сили: постійна сила тяжіння F _т = m g і змінна сила опору повітря F _оп = – k v.

На початку руху F _оп = 0 (оскільки v ₀ = 0), а в міру зростання швидкості сила F _оп також зростає. Модуль рівнодійної цих сил Z = F_т – F_оп, а отже і результуюче прискорення a_y, поступово зменшуються. Нарешті, у той момент, коли сила опору стає рівною силі тяжіння, прискорення кульки a_y стає рівним нулю і рух стає рівномірним. Починаючи з цього моменту, весь наступний час польоту

F_оп = F_т, тобто kv_max = mg.

Тут v_max – швидкість усталеного рівномірного руху. Звідси

.

Тепер видно, що внаслідок існування опору швидкість усталеного руху падаючих у повітрі тіл дійсно більша для тіла більшої маси, оскільки за умовою форма й розміри тіл однакові, а отже однаковими мають бути і значення k.

Оскільки остання формула не містить початкової швидкості v ₀ та початкової висоти y ₀ (у всякому разі в явному вигляді v ₀ й y ₀ до
формули не входять), виникає припущення (гіпотеза): значення усталеної швидкості не залежить від початкових умов руху.

З метою перевірки цієї гіпотези розглянемо

2. Рух тіла, кинутого вертикально вниз.

2.1. Перед стовпцем Е зі значеннями модуля швидкості v вставимо новий стовпець, який дістане ім’я Е, при цьому колишній Е стане F і т.д. аж до кінця таблиці.

2.2. У стовпець К («Дано:») введемо змінені початкові умови: y ₀ = 250 м, v ₀ = 10 м/с, a₀ = 270°. Інтервал D t зменшимо удвічі, тобто візьмемо D t = 0,05 с.

Усі комірки стовпця D скопіюємо без формул у новий (E) в режимі «Правка» → «Спеціальна вставка» → «Значення». Після
копіювання попередні дані стовпця К міняємо на нові: y ₀= 350, v ₀ = 0. У стовпці D з’являться нові значення модуля швидкості v.

Таким чином, ми маємо можливість одночасно працювати (у
тому числі й будувати графіки) з двома стовпцями – активним D
(з формулами) і пасивним Е (без формул). Зрозуміло, і в цьому легко впевнитись експериментально, що на будь-які зміни у стовпці
«Дано:» реагувати будуть тільки значення стовпця D.

Нагадаємо, що ознакою закінчення руху є перехід y -координати через нуль. Коли при порівнянні швидкостей ми не виявимо виходу на режим усталення, то причина цього може полягати або в тому, що тіло ще не завершило політ, або в тому, що недостатньою була початкова висота у ₀.

Порівнюючи значення швидкостей у сусідніх стовпцях D і Е, а також відповідні графіки, бачимо, що значення усталених швидкостей майже однакові, хоч усталення цих величин відбувається у різні моменти часу. Тому можна відмітити, що наша гіпотеза майже
підтверджується (рис. 9.6). Щоб позбавитись цього «майже», при формулюванні гіпотези слід було вказати, що початкова висота має бути достатньою для того, щоб процес перейшов на усталений
режим. У даній таблиці, зокрема, для забезпечення точності у два десяткових розряди при зазначених вище даних довелося створити майже 160 рядків.

Рис. 9.6

Запитання

1. Якби опір середовища був відсутній, то чи спостерігали б ми результат, про який щойно було сказано словами: «...значення усталених швидкостей майже однакові, хоч усталення... відбувається у різні моменти часу»?

2. Як впливає значення початкової швидкості на час виходу
миттєвої швидкості на усталений режим? Залучіть до своїх міркувань дані обчислювального експерименту.

Далі слід видалити спочатку графік, а потім – вставлений стов­пець.

3. Тепер розглянемо рух тіла, кинутого вертикально вгору за
такими початковими даними:

x ₀ = 0, y ₀ = 0, v ₀ = 10 м/с, a₀ = 90°,

D t = 0,025 с, g = 10 м/с², R = 0,6 кг/с.

Відповідно до цих даних отримаємо таблицю, за якою порівняємо тривалості підйому і падіння.

Умова у ≥ 0 перестає виконуватись на 69 рядку, якому відповідає повний час польоту t_{польоту} = 1,675 с.

Час підйому відповідає максимальному значенню у -координати. За таблицею у_тах = 3,392 м, а п_ідйому = 0,650 с.

Оскільки час падіння t_{падіння} = t_{польоту} – t_{підйому}, маємо:

t_{падіння} = 1,675 с – 0,650 с = 1,025 с.

Отже за наявності сили опору середовища час падіння завжди більший за час підйому.

Завдання

1. Обґрунтування цього факту становить окреме задачу, яку ми й пропонуємо вам розв’язати, тобто дати фізичне тлумачення.

2. Переглядаючи таблицю, можна бачити, що швидкість тіла у момент падіння менша за початкову швидкість v ₀ у повній відповідності із законом збереження і перетворення енергії.

Про яке збереження і перетворення енергії йдеться?

4. Рух т іла, кинутого під довільним кутом до горизонту.

Змінимо у попередньому прикладі початкове значення кута a₀, залишаючи решту вхідних даних незмінними. Нехай a₀ = 60°.

Якщо закінченням руху знов будемо вважати момент переходу
y -координати через нуль, то орієнтовна кількість рядків таблиці
становитиме 30. Нарешті у стовпцях B, F та І таблиці з’являються
ненульові значення.

4.1. Шукатимемо спочатку відповідь на питання про вигляд траєкторії. З цією метою розглянемо стовпці Н та І зі значеннями
координат x та y. З таблиці видно, що x -координата найвищої точки траєкторії більша за x_max /2. Це означає, що тепер траєкторія руху не є параболою хоч би з тієї причини, що вона не є симетричною відносно вертикальної прямої, проведеної через точку максимального
підйому, як це було при дії на тіло однієї сили тяжіння.

До того ж в цьому легко впевнитися, якщо вивести на екран
траєкторію руху – графік залежності у = у (х). Траєкторію ілюструє рис. 9.7: підйом тіла відбувається вздовж пологої ділянки траєкторії, а зниження – вздовж крутішої.

Рис. 9.7

За такою траєкторією рухається після удару волан у бадмінтоні. Знавці цієї гри часто виконують високі подачі, після яких волан знижується на полі суперника майже вертикально, що позбавляє суперника можливості нанести сильний удар у відповідь. Експерименти на моделі з різними початковими кутами кидання добре узгоджуються із цим фактом.

Зовні схожими, але в дійсності значно складнішими, є траєкторії рухів футбольного м’яча або тенісної кульки під час гри. Справа в тому, що часто при ударі їх підкручують, а це викликає додаткові ускладнення в русі цих тіл (зокрема, так званий ефект Магнуса). Якщо ж їхній рух буде поступальним, то всі зазначені вище особливості матимуть місце.

4.2. Збільшуючи початкову швидкість до 100 м/с, можна одержати безперечно цікаву інформацію, що її дають виведені разом на екран графіки залежності v_x, v_y та v від часу: із плином часу всі компоненти швидкості руху перестають змінюватись (рис. 9.8). Орієнтовна кількість рядків таблиці у цьому випадку становить 200.

Рис. 9.8

Завдання. Дайте фізичне тлумачення зображеним залежностям.

На закінчення цієї версії знов сформулюємо

Висновки

1. У цій версії моделі була здійснена спроба включення до розгляду сили опору середовища. Обговорюючи питання про фактори, від яких ця сила залежить, ми прийняли припущення, згідно з яким сила опору пропорційна швидкості: саме на це були розраховані розглянуті нами приклади.

2. У межах прийнятого припущення було встановлено, що за
достатньої тривалості часу, протягом якого відбувається рух, має
місце усталення (стабілізація) значення швидкості і, як довела перевірка, за достатньої початкової висоти цей факт не залежить від
початкових умов;

- час підйому і час падіння до початкового рівня не однакові:

t_{підйому} < t_{падіння};

- траєкторія руху не є параболою, її висхідна частина більш положиста, ніж спадна.

На якісному рівні результати моделювання добре узгоджуються з відомими фактами.

Тут на деякий час доцільно відкласти читання й вимкнути комп’ютер. З аркушу паперу зробіть літачок і поспостерігайте за
тими викрутасами, які він виконує у повітрі, якщо його запускати з різними швидкостями й під різними кутами. Це, по-перше, дасть
можливість трохи відпочити, а по-друге, після таких експериментів стане набагато цікавіше працювати з останньою версією моделі.

Дата добавления: 2015-01-03