Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод Монте-Карло. Детерміновані й стохастичні моделі




Детерміновані й стохастичні моделі

Усі без виключення попередні моделі мають одну спільну особ­ливість – хід процесів у них визначається строгими закономірностя­ми, тобто між значеннями характеристик (параметрів) об’єкту або системи об’єктів у деякий момент часу і їх значеннями у будь-який наступний (чи попередній) момент існував строгий однозначний зв’язок. Цей зв’язок встановлювався математичним записом законо­мірностей у вигляді точних формул. Явища, які описуються такими величинами, мають назву детермінованих (від латинського determine – визначаю), таку ж назву мають і відповідні моделі.

Детермінована модель – це аналітичне подання закономірності, при якому для сукупності вхідних значень на виході системи може бути отриманий єдиний багатократно відтворний результат.

Проте, окрім детермінованих об’єктів (процесів, явищ) в приро­ді, техніці і суспільстві існують і такі, для яких неможливо за допомогою точних формул врахувати численні і різноманітні впливи
випадкових чинників. До таких, наприклад, можна віднести майже усі виробничі процеси, а також об’єкти, характеристики яких за своєю природою можуть набувати тільки випадкових значень.
Наприклад, денна кількість пасажирів на різних видах транспорту, тривалість проміжків часу між ремонтами техніки, ряд властивостей об’єктів мікросвіту, зміни в часі симпатій виборців і тому подібне. Величини з наведених прикладів називають випадковими або стохастичними. Цю ж назву – «стохастичні» – мають і математичні моделі, які містять такі величини.

Отже, якщо в детермінованих явищах багаторазово відтворюва­ти одні і ті самі початкові умови, то обов’язково відтворюватимуться одні і ті самі результати.

У разі стохастичних величин результати кожного разу будуть новими. За необхідності тут часто вдаються до усереднювання
результатів.

Існують різні підходи до моделювання систем, що містять стохастичні характеристики, але найбільш простим і поширеним є метод випадкової вибірки, відомий ще під назвою методу Монте-Карло. Створення цього методу пов’язане з роботою відомого американського математика, одного з засновників кібернетики, Джона фон
Неймана, який у кінці 40-х років ХХ ст. увів цей термін при вирішенні проблеми екранування (захисту) від ядерних випромінювань. Назва методу походить від назви столиці князівства Монако, відомої своїми ігорними домами, де важливе місце відводиться рулетці. У добре збалансованої рулетки кулька (чи стрілка-покажчик) може
зупинитися в якому завгодно положенні, тому ймовірність випадання будь-якого числа однакова для усіх чисел на барабані.

Подивимося на рулетку з позиції дослідника. Уявімо, що на диску містяться цілі числа з деякого інтервалу. Після кожного випробування будемо в прямокутній системі координат на осі ординат відкладати ці числа, а на осі абсцис – відповідно порядкові номери їх появи. Тоді при досить великій кількості випробувань ми отримаємо множину точок, майже рівномірно розташованих на згаданій координатній площині.

Інший метод отримання рівномірно розподілених випадкових чисел – використання лототрону. За необхідності отримати m - розрядні випадкові числа можна було б m разів підряд запускати рулетку або витягати з лототрону підряд m куль (зрозуміло, повертаючи їх знову до лототрону після кожного випробування). Рівномірний розподіл випадкових чисел – це ідеалізоване математичне поняття, й фактично на практиці такі розподіли не зустрічаються.

Насправді при використанні методу Монте-Карло немає необхідності багаторазово обертати рулетку або барабан лототрону:
випадкові числа давно визначені і записані в спеціальні таблиці. Фрагмент такої таблиці для т = 4 приведений нижче.

                   
                   
                   
                   

Таблиця чотиризначних випадкових чисел.

У випадках, коли випадкові числа беруть з таблиці, то не обов’язково розпочинати з найпершого числа: в таблицю можна входити з будь-якого місця. Проте надалі треба використати певну регулярність. Наприклад, брати числа підряд уздовж рядків, зміщуючись увесь час направо (чи наліво), або уздовж стовпців (вгору або вниз), нічого не пропускаючи, тобто не можна вибирати «гарні» числа і пропускати «незручні», наприклад, дуже малі.

У природних і виробничих умовах, в громадських і багатьох
інших явищах спостерігаються розподіли нерівномірні. Такими є розподіли, характерні для коливань купівельного попиту, для величини урожаю в різні роки, для виробничих похибок і похибок вимірювань, для рівня перешкод при передачі інформації і т. п. Відомі різні види нерівномірних розподілів випадкових величин. Всі їх
вивчає окрема наука – математична статистика.

При моделюванні випадкових величин їх розподіл визначають одним із двох способів:

1) за певним теоретичним законом методами математичної статистики;

2) на основі даних, що їх отримують за результатами спеціально поставленого натурного експерименту, і саме цим способом ми скористаємося.

Для роботи комп’ютерів з випадковими числами спочатку були здійснені спроби вводити ці числа в машину ззовні. Вводили в пам’ять готові таблиці, будували прилади на основі випадкових фізичних процесів (наприклад, радіоактивного розпаду або підрахунку кількості електронів, що вилітають за деякий фіксований проміжок часу з розжареного катода), і отримані на цих приладах числа також вводили в пам’ять. Проте одне й інше працювало однаково погано: таблиця цих чисел в комп’ютері швидко вичерпувалася, а випадкове фізичне явище взагалі не можна відтворити з тією ж послідовністю чисел для перевірки або проведення повторних розрахунків.

Саме в цій ситуації Джон фон Нейман придумав алгоритм генерування (утворення) чисел, дуже схожих на випадкові і рівномірно розподілених в інтервалі [0, 1]. Ці числа ще називають псевдовипадковими (немов би, майже випадковими), оскільки їхня послідовність, на жаль, виявляється періодичною.

Кількість чисел в періоді намагається збільшувати шляхом удосконалення алгоритму їх утворення. У сучасних мовах програмування такі алгоритми реалізовані в спеціальних стандартних функціях. Так, відома функція RND (Х) генерує рівномірно розподілену в інтервалі [0, 1] послідовність псевдовипадкових чисел. Назва функції походить від англійського random – випадковий. У електронних таблицях також є відповідна функція.

Ідея методу Монте-Карло полягає в тому, що при побудові стохастичних моделей деякі важливі параметри моделі задають за допомогою випадкових чисел. Основна проблема тут зводиться до пошуку зручного і надійного джерела (генератора) таких чисел.

У безмашинному варіанті ці числа, як відзначалося вище, беруть зі спеціальних таблиць, а за наявності комп’ютера користуються стандартним генератором псевдовипадкових чисел.

Розглянемо деякі прості приклади моделювання з використанням випадкових чисел.

.3. Моделювання броунівського руху (проста модель)

Згадаємо, що броунівським рухом називають безладний рух дрібних часток, зважених в рідині або газі, під впливом ударів молекул середовища. Уперше це явище спостерігав у мікроскоп англійський ботанік Роберт Броун у 1827 р., розглядаючи рух часток квіткового пилку, зважених у краплині води.

Як згодом було встановлено, причиною руху броунівської частки є тепловий рух молекул середовища і відсутність точної просторової компенсації ударів, що їх зазнає частка з боку цих молекул. Ці некомпенсовані удари, будучи безладними, приводять частку у безладний рух: швидкість її увесь час різко змінюється і за величиною, і за напрямом. Якщо фіксувати положення довільної частки через
невеликі однакові проміжки часу, то побудована у такий спосіб траєкторія виявляється надзвичайно складною і заплутаною ламаною
лінією. На рис. 11.1 показані фотографії руху трьох броунівських часток радіусом 0,52 мкм у воді. Точками відмічені положення часток через кожні 30 с. Відстань між поділками сітки 3,4 мкм.

Рис. 11.1

У другій половині ХIX ст. броунівський рух виявився найбільш переконливим експериментальним підтвердженням основних положень молекулярно-кінетичній теорії – вчення про хаотичний тепловий рух атомів і молекул речовини. І хоч ці частки – атоми і молекули – в оптичний мікроскоп безпосередньо не видні, але рух броунівських частинок опосередковано свідчить про рух молекул. Повну теорію броунівського руху дали в 1905 – 1906 рр. Альберт Ейнштейн і Маріан Смолуховский.

Поставимо метою моделювання траєкторії руху броунівської
частинки.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-03; Просмотров: 522; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.