Производная функция одной переменной. Определение, геометрический смысл, простейшее правило вычисления производной. Производная сложной функции. Формула Тейлора

Пусть функция определена на интервале . - приращение аргумента. .

.

Рассмотрим предел . Если этот предел существует и конечен, то функция называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от этой функции: .

Правая производная: . Левая производная: .

Определение: Проведем секущую к графику функции через точку М0(х0, f(x0)) и . Угол между секущей и положительным направлением оси х обозначим через . Предельное положение секущей при , если оно существует называется касательной к кривой в точке М0. угол между касательной и осью х обозначим через b.

Из треугольника М0МА следует, что угол , тогда предел . (касательная будет стремиться к секущей).

С геометрической точки зрения, производная угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке М0(х0, f(x0)) к оси х.

Можно показать, что функция является дифференцируемой тогда и только тогда, когда ее приращение представимо в виде:

, - бесконечная малая при .

Если функция дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Правила вычисления производных:

1. 

Доказательство:

Если каждый из этих пределов существует и конечен: , то .

Теорема: если функции u(x) и v(x) являются дифференцируемыми в точке х, то функция u(x)+v(x) также является дифференцируемой в этой точке и справедливо равенство .

1. Для произведения аналогична теорема и доказательство.

.

Доказательство:

, учитывая, что , то получим, что

Предел каждого из слагаемых существует, v(x) и u(x) не зависят от , следовательно это константы, - производные, - бесконечно малая, следовательно .

Формулы:

Производная сложной функции: Если функция х=х(t) дифференцируема в точке t0, а функция дифференцируема в точке x0 = x(t0), то функция y(t)=f(x(t)) будет дифференцируема в точке t0 при этом .

Если функция дифференцируема в точке x0, то она распишется так: (*).

.

Утверждение: если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна.

x(t) дифференцируема в точке x0, следовательно x(t) непрерывна в точке x0, следовательно , следовательно .

Если (*) разделим на , то получим , так как бесконечно малая.

.

Формула Тейлора: пусть функция f(x) имеет производные до порядка (n+1) включительно в окрестности точки x0, тогда справедлива формула Тейлора:

.

R_n(x) – остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: . Точка с лежит между х0 и х.

Остаточный член в форме Пеано: - бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x – x ₀) ⁿ

Дата добавления: 2015-01-03