Производная сложной функции

Дифференцирование функции многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал. Производная от сложных функций, градиент, направление убывания, геометрический смысл градиента.

Пусть функция z=z(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x₀,y₀): U(x₀,y₀) Точка (x₀+Δx, y₀) ЄU(x₀, y₀).

Рассмотрим:

Если этот предел существует и конечен, то функция называется дифференцируемой по х в точке (x₀, y₀), а значение предела называют частной производной функции z по переменной х в точке (x₀, y₀):

Из определения производной видно, что остальные аргументы не меняются, т.е. являются константами, при вычислении производной по х.

Функция z(x,y) называется дифференцируемой по совокупности аргументов или просто дифференцируемой в точке (x₀,y₀), если ее полное приращение в точке (x₀,y₀) представлена в виде:

где является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем

при

	(x0+Δx,y0+Δy)

Бесконечно малая более высокого порядка малости, т.е

Покажем, что ,а

Пусть Δy=0 => при

Разделим на Δx и перейдем к пределу.

Если функция z(x,y) дифференцируема по совокупности аргументов, то она дифференцируема по каждому из аргументов в отдельности, при этом ,

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции): Если функция z=z(x,y) имеет частные производные , в некоторой окрестности U(x₀,y₀) точки (x₀,y₀) и эти частные производные непрерывны в самой точке (x₀,y₀), то функция z дифференцируема в точке (x₀,y₀) по совокупности аргументов.

Главная линейная часть полного приращения функции называется ее дифференциалом.

(если x, y –независимые переменные)

Если функция z(x,y) дифференцируема по совокупности аргументов в точке (x₀,y₀), то она непрерывна в этой точке по совокупности аргументов. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Геометрический смысл дифференцируемости:

С геометрической точки зрения, дифференцируемость функции z(x,y) по совокупности аргументов в точке (x₀,y₀) означает существование невертикальной касательной плоскости к поверхности z(x,y) в точке М(x₀,y₀, z((x₀,y₀)).

Пусть функции дифференцируемы в точке (u₀,v₀)

Функция z(x,y) дифференцируема в точке (x₀,y₀), где x₀=x(u₀,v₀), y₀=y(u₀,v₀)

Тогда функция z=z(x(u,v), y(u,v)) имеет частные производные , в точке (u₀,v₀) при этом

Если x и y функции одного аргумента

То функция z(x(t), y(t)) также является функциями одного аргумента и можно говорить о полной производной.

Пусть функция z(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x₀,y₀) и имеет частные производные

и

Пусть через точку (x₀,y₀) проходит ось образующая угол с осью X, и угол с осью Y. Тогда производной по направлению будет

Производная по направлению равна скорости изменения функции в точке (x₀,y₀) в направлении вектора .

Если эта производная > 0, то функция z в точке (x₀,y₀) возрастает в данном направлении, иначе убывает.

Очевидно, что можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов:

Градиент – это есть вектор

Вектор с координатами орт (, ).

- направляющие косинусы вектора.

принимает наибольшее значение, когда ,т.е. когда , следовательно, градиент направлен в сторону наибольшего роста функции в данной точке, при этом

Дата добавления: 2015-01-03