Следствие

Доказательство.

Необходимое условие экстремума функции.

Теорема.

В точке экстремума (двусторонний) дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

Пусть, для определенности, есть точка минимума функции . Следовательно, если достаточно мало по абсолютной величине.

Отсюда , если ,

и , если .

Переходя в этих неравенствах к пределу при , для производной в точке , равной

соответственно получим

, если

Т.к. значение производной не должно зависеть от способа стремлении к нулю, то отсюда следует, что .

Теорема доказана.

Геометрическая иллюстрация.

Геометрически обозначает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функция равна нулю или не существует.

Действительно, если в точки экстремума функции f(x) cуществует производная f^/ то в силу доказанной теоремы

Эта производная равна нулю: f^/(x)=0.

То, что в точке экстремума непрерывной функции производная может не существовать, показывает пример функции, график которой имеет форму "ломанной".

Те значения аргумента х, которые для данной функции f(x)

обращают в нуль, её производную f^/(x), или для которых производная f^/(x) не существует, называется критическими значениями аргумента.

Дата добавления: 2015-01-03