Определение. Понятие доверительного интервала

Понятие доверительного интервала

Доверительные интервалы

Оценки параметров позволяют по выборке вычислить некоторые значения, которые ``приближают'' неизвестные параметры. Существует другой подход к тому, чтобы извлечь информацию о неизвестных параметрах. Он состоит в том, чтобы, основываясь на данных наблюдений, определить границы, в которых с заданной степенью достоверности лежит неизвестный параметр.

Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра.

- доверительным интервалом называется интервал вида где такой, что

Число называют доверительной вероятностью.

Другими словами, доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью .

Значение доверительной вероятности выбирается заранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями.
Смысл величины -- вероятность допустимой ошибки. Часто берут значения и т.п. Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Он состоит из трех этапов.

1. Выбираем функцию , зависящую от выборки и от неизвестного параметра, такую, что ее функция распределения

не зависит от неизвестного параметра .

1. Выбираем два числа и таким образом, чтобы . Подбираем и , удовлетворяющие условиям

(41)

1. 
   
2. Таким образом,

(42)

1. 
   
2. причем и не зависят от .
3. Решим двойное неравенство относительно . В том случае, когда его решением является интервал, обозначим его левый и правый концы через и соответственно. Естественно, они зависят от выборки: , . В силу (42)

Следовательно, -- искомый -доверительный интервал.

Дата добавления: 2014-12-23