Математические основы квантовой механики

^{1. Оператор ˆ}, действующий в некотором линейном пространстве,

A

является линейным, если для любых элементов ψ ₁ и ψ ₂ этого про-странства имеет место равенство:

ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
А. A βψ 1	= βAψ 2	Б. A (αψ 1	+ βψ 2) = αAψ 1	+ βAψ 2
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
В. A βψ 2	= αAψ 1	В. A (αψ 1	+ βψ 2) = βAψ 1	+ αAψ 2

(α и β - произвольные комплексные числа).

^{2. Оператор ˆ}, действующий в некотором линейном пространстве,

A

является эрмитовым, если для любых элементов ψ ₁ и ψ ₂ этого пространства имеет место равенство:

ˆ		ˆ	Б.	ˆ		2)	*			ˆ
А. (Aψ 1, ψ 2) = (ψ 2	, Aψ 1)	(Aψ 1, ψ		= (ψ 1 ^, ^Aψ 2)
ˆ		ˆ	Г.	(	ˆ			2)	*	ˆ
В. (Aψ 1	^, ψ 2)=(ψ 1^, ^Aψ 2)	Aψ 1, ψ		= (ψ 2, Aψ 1),

где (...,...) – скалярное произведение элементов пространства.

3. Какой формулой принято определять скалярное произведениеэлементов, входящих в линейное пространство комплексных функ-

ций одной переменной и определенных на интервале [ a, b ]?

А. (ψ 1, ψ 2)= ∫ ^bψ 1^* (x) ψ 2 (x) dx	Б. (ψ 1, ψ 2)= ∫ ^bψ 1 (x) ψ 2^* (x) dx
a	a
В. (ψ 1, ψ 2)= ∫ ^bψ 1^* (x) ψ 2^* (x) dx	Г. (ψ 1, ψ 2)= ∫ ^bψ 1 (x) ψ 2 (x) dx
a	a

4. В линейном пространстве комплексных функций одной пере-менной выбран дискретный ортонормированный базис. Две функ-

ции ψ ₁(x) и ψ ₂ (x) заданы своими координатами в этом базисе { c_i } и { d_i } соответственно. Как скалярное произведение (ψ ₁, ψ ₂) выражается через координаты функций?

А. (ψ 1, ψ 2) = ∑ ci ^* di ^*	Б. (ψ 1, ψ 2) = ∑ ci di ^*
i	i
В. (ψ 1, ψ 2) = ∑ ci ^* di	Г. (ψ 1, ψ 2) = ∑ ci di
i	i

5. Какой формулой правильно выражается перестановочное свой-ство скалярного произведения двух произвольных элементов ли-нейного пространства?

А.	(	ψ		, ψ	2)	= ψ	, ψ	1)	Б.	(	ψ	, ψ	2)	= ψ	, ψ		*
			(2						(2			1)
В.	(	ψ	, ψ	2)	= − ψ	, ψ	1)	Г.	(	ψ	, ψ	2)	= − ψ	, ψ	*
					(							(				1)

6. Какой из ниже перечисленных операторов,действующих в ли-нейном пространстве дифференцируемых функций одной пере-менной, не является линейным?

А. дифференцирования	Б.	четности
В. возведения в квадрат	Г.	умножения на функцию

f (x)

7. Какой из перечисленных операторов,действующих в линейномпространстве комплексных функций одной переменной, является линейным?

А. комплексного сопряжения Б. вычисления действительной части

В. возведения в квадрат по модулю Г. никакой из перечисленных

^{8. Оператор ˆ +}, действующий в некотором линейном пространст-

A

				ˆ
ве, является эрмитово сопряженным оператору A, если для любых
элементов ψ 1 и ψ 2 этого пространства имеет место равенство:
ˆ	ˆ +	ψ 2	ˆ	ˆ +	ψ 2)
А. Aψ 1 =	A	Б. (Aψ 1	, ψ 2)= (ψ 1, A
ˆ	=	ˆ +	ˆ	ˆ +	ψ 1)^,
В. Aψ 1 ψ 2	A ψ 2 ψ 1	Г. (Aψ 1	, ψ 2)= (ψ 2, A

где (...,...) – скалярное произведение элементов пространства.

9. Какая функция получится в результате действия произведения

операторов дифференцирования d / dx		ˆ
и возведения в квадрат S
	d	ˆ	e	− x
(то есть оператора		S)на функцию		?
dx
А. −2 e ^2 x		Б. 2 e ^2 x
В. −2 e ^−^2 x		Г. 2 xe^x ^2

10. Какая функция получится в результате действия произведения

		ˆ	и дифференцирования	d / dx
операторов возведения в квадрат S
ˆ	d		− x
(то есть оператора S		) на функцию e		?
dx
А. e ^−^2 x	Б. e − x ^2	В. e ^2 x	Г. ex ^2

ˆ ˆ

11. Операторы A и B, действующие в некотором линейном про-странстве, коммутируют, если для любого элемента этого про-

странства ψ имеет место равенство:
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ	ˆ
А. AB ψ = BAψ	Б. (Aψ, ψ) = (ψ, Bψ)
ˆ	ˆ +	ˆ	ˆ
В. Aψ = B ψ	Г. Aψ	= Bψ,

где (...,...) – скалярное произведение элементов пространства.

12. Для любого эрмитового оператора^ˆ,действующего в некото-

A

ром линейном пространстве, можно выбрать такой базис, в кото-

ˆ

ром матрица оператора A является

А. единичной Б. нулевой

В. антисимметричной Г. диагональной

13. Собственные значения любого эрмитового оператора

А. положительны Б отрицательны

В. вещественны Г. чисто мнимы

14. Собственные функции эрмитового оператора, отвечающие раз-личным собственным значениям, А. ортогональны

Б. отличаются числовым множителем В. совпадают

Г. комплексно сопряжены по отношению друг к другу

15. Собственное значение оператора вырождено, если

А. этому значению отвечает одна собственная функция Б. этому значению отвечает две или более линейно независимых собственных функции В. это значение равно нулю

Г. это значение не равно нулю

ˆ ˆ

16. Если эрмитовы операторы A и B коммутируют, то

А. любая собственная функция одного из операторов является так-же собственной функцией другого оператора Б. операторы не имеют общих собственных функций

В. операторы имеют общие собственные функции, число которых меньше размерности пространства, в котором действуют эти опе-раторы Г. эти два оператора имеют полную систему общих собственных функций

17. Оператору,действующему в двумерном линейном пространст-

ве, при некотором выборе базиса отвечает матрица				. Какая

функция получится при действии этого оператора на функцию, имеющую в данном базисе координаты 1 и 2 («1» – первая коорди-ната, «2» – вторая)?

А. нулевая функция Б. функция с координатами 1,5 и 7

В. функция с координатами 5 и 11 Г. функция с координатами 5 и 12

18. Какая из четырех матриц является матрицей эрмитового опера-тора?

1 i

1 i

А.

Б.

В

− i 2

Г.

i

2 − i

19. Какая из четырех матриц не является матрицей эрмитовогооператора?

1 1− i

5 +2 i

А.

+ i 2

Б.

В.

−2 i

Г.

^1

20. Сколько собственных значений имеет оператор,заданный мат-

	i	?
рицей	− i
А. одно				Б. два	В. три	Г. четыре

21. Оператором, обратным оператору четности, является А. оператор четности Б. оператор однократного дифференцирования

В. оператор возведения в квадрат Г. оператор двукратного дифференцирования.

22. Чему равны собственные значения оператора, заданного матри-

	i	?
цей
− i				Г. – i и + i
А. +1 и –1		Б. 0 и 1	В. 0 и –1
23.Оператор id / dx,	действующий в	пространстве функций, за-

данных на интервале (−∞, +∞), в котором определено скалярное

произведение, является

А. эрмитовым Б. унитарным

В. совпадающим со своим обратным Г. нелинейным

24. Коммутатор операторов d / dx и умножения на функцию f (x)

равен
А. оператору d / dx		f (x)
Б. оператору умножения на функцию
В. оператору умножения на функцию	′
f (x)
Г. оператору d ^2 / dx ^2		ˆ
25.Коммутатор операторов четности P и умножения на функцию
f (x)равен
ˆ	Б. оператору	ˆ
А. оператору P	f (x) P
ˆ	Г. оператору	ˆ
В. оператору f (− x) P	[ f (− x) − f (x)] P

26. Спектр собственных значений оператора является дискретным.Это значит, что А. оператор имеет бесконечное количество собственных значений

Б. оператор имеет бесконечное количество положительных собст-венных значений

В. собственные значения можно пересчитать, даже если их число бесконечно Г. собственным значением является любое число из некоторого

интервала значений

27. Спектр собственных значений оператора является непрерыв-ным. Это значит, что А. оператор не имеет собственных значений

Б. оператор имеет конечное число собственных значений В. оператор имеет бесконечное число собственных значений, кото-рые можно пересчитать

Г. собственным значением является любое число из некоторого интервала значений

28. Что такое шпур матрицы оператора?

А. сумма всех элементов его матрицы Б. сумма всех элементов, находящихся в матрице этого оператора выше главной диагонали

В. сумма всех элементов, находящихся в матрице этого оператора ниже главной диагонали Г. сумма всех диагональных элементов матрицы этого оператора

29.Оператор задан матрицей

. Чему равна сумма всех

собственных значений этого оператора?

А. 1

Б. 3

В. 5

Г. 9

30.Произведение операторов

d / dx и

d ^2/ dx ^2на произвольную

функцию

f (x)действует так:

А.

d ^2 f (x) df (x)

Б.

d ^2 f (x)

+

df (x)

dx ^2

dx

dx ^2

dx

В.

d ^3 f (x)

Г.

d ^4 f (x)

dx ^3

dx ^4

31. Сумма операторов d / dx и d ²/ dx ²на произвольную функцию f (x)действует так:

А.

d ^2 f (x) df (x)

Б.

d 2

f (x)

+

df (x)

dx ^2

dx

dx ^2

dx

В.

d ^3 f (x)

Г.

d ^4

f (x)

dx ^3

dx ^4

+

ˆ

ˆ

32.Чему равен оператор(AB)

?

ˆ

+ ˆ +

ˆ ^+

ˆ ^+

ˆ

+

ˆ ^+

ˆ ^+

ˆ ^+

А. A B

Б. A + B

В. A

− B

Г. B A

ˆ

ˆ

−1

?

33.Чему равен оператор(AB)

ˆ

− 1 ˆ −1

ˆ − 1

ˆ −1

ˆ − 1

ˆ

−1

ˆ

− 1 ˆ −1

А. A B

Б. A

+ B

В. A

− B

Г. B A

34.Чему равна функция δ (ax)

(где δ (...)

– δ -функция,

a –неко-

торое действительное число)?

А. aδ (x)

Б.

δ (x)

В. | a | δ (x)

Г.

δ (x)

| a |

a

)

ˆ

+

+

?

35.Чему равен оператор(A

ˆ

ˆ ++

ˆ +^2

ˆ −1

А. A

Б. A

В. A

Г. A

36. Привести матрицу оператора к диагональному виду значитА. заменить элементы, находящиеся не на главной диагонали, ну-лями

Б. выбрать другой базис, в котором матрица оператора кратна еди-ничной матрице В. выбрать другой базис, в котором матрица оператора равна еди-ничной матрице

Г. выбрать другой базис, в котором матрица оператора диагональна 37. Если в качестве базиса в линейном пространстве выбрать соб-ственные функции некоторого эрмитового оператора, то его мат-

рица

А. равна единичной матрице Б. кратна единичной матрице

В. диагональная Г. нулевая

38. Почему матрицу любого эрмитового оператора можно привестик диагональному виду?

А. потому что его собственные значения вещественны Б. потому что его собственные функции ортогональны

В. потому что его собственные функции образуют ортогональный базис в том пространстве, в котором оператор действует Г. потому что операторы физических величин эрмитовы

39. Пусть f ₁(x)и f ₂(x)–собственные функции некоторого ли-нейного оператора, отвечающие собственным значениям a ₁ и a ₂.

Функция C ₁ f ₁ (x) + C ₂ f ₂ (x) (C ₁ и C ₂ – произвольные числа) А. будет собственной функцией того же оператора

Б. будет собственной функцией того же оператора, если a ₁ = a ₂

В. никогда не будет собственной функцией того же оператора Г. будет тождественно равна нулю

40. В некотором линейном пространстве выбран ортонормирован-ный базис { f_i }. Какой формулой определяются матричные элемен-

ты матрицы некоторого линейного оператора ^ˆ, действующего в

A

этом пространстве?

ˆ			ˆ ^+	*
А. akn = (f k , Afn)	Б. akn = (f k , A	fn)
ˆ	fn)	ˆ ^+	^f k,	*
В. akn = (Af k ,	Г. akn = (A	fn)

41. Пусть в некотором линейном пространстве выбраны два орто-нормированных базиса { f_i } и { e_i }. Матрицей перехода от одного

базиса к другому называется матрица S_ki, составленная из коэф-фициентов разложения одной базисной системы по другой: f _i =∑ S _ki e_k. Матрица S_ki

k

А. эрмитова Б. унитарна

В. совпадает со своей обратной Г. диагональна

	ˆ
42.Оператор A,действующий в некотором линейном пространст-
ве, является унитарным, если			)
ˆ	ˆ ^+	ˆ	ˆ ^+	+
А. A = A	Б. A =	(^A
ˆ	ˆ −1	ˆ ^+	ˆ −1
В. A = A	Г. A = A
43.Пусть для любых двух элементов	f 1	и f 2 линейного простран-
ства и некоторого оператора	ˆ
A,действующего в этом пространст-

ве, выполнено условие (f 1, f	ˆ	ˆ
2) = (Af 1	, Af 2) (в этом случае говорят,
ˆ
что оператор A сохраняет скалярное произведение элементов про-
			ˆ
странства). Какое свойство оператора A обязательно имеет место?
А. он нелинейный	Б. он эрмитов
В. он унитарный	Г. он совпадает со своим обратным
44.Для любых двух элементов	f 1	и f 2 линейного пространства и
некоторого оператора	ˆ
A,действующего в этом пространстве,вы-
полнено условие (f 1,	ˆ ^+	f 1,	ˆ
f 2)=(A	Af 2).Какое свойство оператора
ˆ
A обязательно имеет место?
А. он нелинейный	Б. он эрмитов
В. он унитарный	Г. он совпадает со своим обратным
45.Собственные значения унитарного оператора
А. действительны			Б. чисто мнимы
В. квадраты их модулей равны 1	Г. все равны 1

46. Какая из величин, составленных из элементов матрицы опера-тора является инвариантной относительно выбора базиса в том пространстве, в котором оператор действует?

А. сумма всех матричных элементов Б. шпур (сумма всех диагональных элементов)

В. разность элементов, стоящих в матрице выше и ниже диагонали Г. элемент, стоящий на пересечении первой строки и первого столбца

Дата добавления: 2014-12-24