Методы решения матричных игр в смешанных стратегиях

Игры.

При решении таких игр рекомендуется предварительно уменьшить размеры платежной матрицы или упростить ее в некотором смысле. С этой целью применяют следующие правила.

Правило доминировнаия.

Из платежной матрицы исключают чистые стратегии заведомо невыгодные по сравнению с другими:

а) для игрока А такими стратегиями являются те, которым соответствуют строки с элементами не большими по сравнению с элементами других строк;

б) для игрока В такими стратегиями являются те, которым соответствуют столбцы с элементами не меньшими по сравнению с элементами других столбцов.

Например, рассмотрим игру с матрицей

Сравнивая строки, убеждаемся, что элементы 2-ой строки не больше соответствующих элементов 1-ой строки, а 3-ья строка совпадает с 4-ой. Следовательно, стратегии и невыгодные и могут быть отброшены. Матрица игры преобразуется к матрице

Сравнивая столбцы полученной матрицы, убеждаемся, что элементы 2-го столбца не меньше соответствующих элементов 1-го столбца, а элементы 3-го столбца не меньше соответствующих элементов 4-го столбца, т.е. стратегии и также могут быть отброшены. Окончательно усеченная матрица игры имеет вид

.

Таким образом, оптимальными стратегиями игроков А и В игры с матрицей Н будут и , где и – оптимальные стратегии игры с матрицей .

Аффинное правило.

Пусть и – оптимальные смешанные стратегии игроков А и В в игре с платежной матрицей и ценой . Тогда и будут оптимальными стратегиями и в игре с матрицей и ценой .

Например, игру с матрицей можно заменить игрой с матрицей , т.к. элементы этих матриц связаны соотношениями : ; ; ; ; ; . При этом оптимальные стратегии игр совпадают, а цены игр связаны соотношением .

В общем случае решение игр размера в смешанных стратегиях сводят к решению двух возможно двойственных ЗЛП. Изучению этого вопроса посвящена следующая лекция.

ЛЕКЦИЯ 9

В этой лекции рассматриваются матричные игры, не имеющие седловых точек.

Дата добавления: 2014-12-25