Подбор эмпирических формул (парная корреляция)

В процессе экспериментальных исследований различных зависимостей часто получают статистических ряд измерений двух величин, когда каждому значению аргумента Х₁, Х₂,...,X_n соответствует п значений функций У₁, У₂,..., У_n.

На основе экспериментальных данных, можно подобрать алгебраические выражения функции

(4.10)

которые называются эмпирическими формулами.

Эмпирические формулы должны быть по возможности простыми и соответствовать экспериментальным данным в пределах изменений аргумента. Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов.

1. Данные измерений наносят на сетку прямоугольных координаг, проводят через область экспериментальныхе течек плавкую кривую и выбирают ориентировочно вид эмпирической формулы.

2. Подбирают параметры функции, которые наилучшим образоя соответствовали бы принятой зависимости.

Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений. Так, например, результаты измерений парожетров многих явлений к процессов аппроксимируются простейшими алгебраическими уравнениями типа

(4.11)

где а, в - постоянные коэффициенты.

Порядок определения коэффициентов в эмпирических формулах зависит от их вида. Точное их вычисление базируется на методе наименьших квадратов, суть которого заключается в том, что прямая (или кривая)с вычисленными по этому методу коэффициентами располагается между экспериментальными точками так, что сумма квадратов расстояний от этих точек до прямой (кривой) - наименьшее из всех возможных. Методика вычислений числовых коэффициентов эмпирических зависимостей по методу наименьших квадратов имеется в большинстве пособий по статистической обработке данных.

Зачастую для приближенного построения, например, прямолинейной зависимости (4.11) можно использовать упрощенный графический метод. С этой целью на сетке прямоугольных координат, где нанесены точки (Х₁, У₁), проводится прямая для которой:

- число точек (Х₁, У₁), сверху и снизу от прямой примерно одинаково:

- сумма расстояний от точек, расположенных сверху и снизу, до прямой примерно одинаково.

Опыт показывает, что различие в значениях коэффициентов а, в при использовании нетрудоемного графического метода составляет 5 - 10 % по сравнению с методом наименьших квадратов.

Количественным показателем тесноты статистической связи между переменными х, у для прямолинейной зависимости (4.11) является коэффициент парной корреляции г. Чем ближе его абсолютная величина к 1, тем теснее связь, т.е. адекватнее описание статистической зависимости этой формулой.

Для большинства горных задач теснота связи считается удовлетворительной, когда |r| > 0,80.

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

(4.12)

где ху - среднее значение произведений х₁ у₁;

б_х,б_у - среднеквадратичное отклонение соответственно х₁ и у₁ от средних значений х, у.

Если эмпирическая функция не укладывается в линейный вид, то используется, так называемый, метод выравнивания результатов наблюдений. Он заключается в такой замене системы координат, при которой функция принимает вид прямой. Для преобразования некоторой кривой (4.10) в прямую линию вводят новые переменные

X=f₁(x, y); Y=f₂(x, y) (4.12)

В искомом уравнении они должны быть связаны линейной зависимостью

Y=a+bX (4.14)

Значения Х и У можно вычислить на основе решения системы уравнений (4.13). Далее по экспериментальным точкам, координаты которых также преобразованы,' строят прямую, по которой легко графически вычислить параметры а (ордината точки перечисления.прямой с осью У) и Ь (тангенс угла наклона прямой к оси X). Приведем некоторые примеры. Если предполагаемая эмпирическая зависимость имеет вид

у=ах^b, (4,15)

что определяется графически, (рис. 4.2.а), то в коордкнатах Х = Lnх; Y = Lny получаем

где с - Lna

Если зависимость имеет вид (рис. 4.2 б)

у=ае^bx (4.16)

то в координатах Х = х; У = Lny получаем прямую

У = с + bХ, где с = Lna

Для более сложных зависимостей (рис. 4.2, в)

у=с+ах^b (4-17)

используется следующий прием. В исходной системе координат на плоскость наносятся точки (X₁, у₁). Среди них выбираются три точки, отстоящие друг от друга на значительное расстояние (в начале, середине и конце корреляционного поля). Затем вычисляется коэффициент с в виде отношения

После этого производится переход к новым координатам Y = Ln (у-с); Х = Lnх, сводящий задачу к первому примеру.

Вообще говоря, эффективность подбора эмпирических формул во многом зависит от опыта и искусства исследователя.

Полученные криволинейные эмпирические зависимости(4.14)-(4.17) называются регрессионными (в отличие от прямолинейной - корреляционной?. Для них в преобразованной линейной системе координат может быть вычислен коэффици-

ент r, характеризующий тесноту статистической связк междупеременными х, у. Он называется корреляционным отношением и имеет тот же физический смысл, что и коэффициент корреляции.

Дата добавления: 2014-12-25