Формула трапеций. Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на N равных частей, тогда

Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на N равных частей, тогда

, (7.16)

где .

Заменим функцию f(x) на каждом из отрезков первой интерполяционной формулой Ньютона первой степени

(7.17)

Подставляя формулу (6.17) в правую часть (6.16), интегрируя и используя теорему о среднем значении интеграла, получим

(7.18)

В силу (6.10) получаем

(7.19)

Приближенное равенство

(7.20)

называется формулой трапеций. Величина

(7.21)

является остаточным членом формулы трапеций. Оценка остаточной погрешности формулы трапеций может быть записана в виде

. (7.22)

Формула трапеций, как и формула прямоугольников, является точной для любой линейной функции. Вычислительная погрешность формулы трапеций также равна

. (7.23)

Так как остаточные члены формул прямоугольников и трапеций (7.13) и (7.21) имеют противоположные знаки, формулы (7.12) и (7.20) дают двустороннее приближение для интеграла (7.1), т.е.

В таком случае можно принять, что

, (7.24)

тогда

, (7.25)

т.е. погрешность выражается через приближенные значения интегралов.

Дата добавления: 2014-12-25