Решение. Вычислим значение функции на концах отрезка [0; 1] f(0)=1; f(1)= -1

Вычислим значение функции на концах отрезка [0; 1] f(0)=1; f(1)= -1. Определив первую и вторую производные, заметим, что первая производная меняет свой знак на отрезке [0; 1]. Сузим рассматриваемый отрезок так, чтобы на новом отрезке первая производная не меняла знака. Рассмотрим середину отрезка [0; 1] - точку 0,5. Вычислим значение функции в этой точке: f(0,5)= -1,5. Следовательно, корень данного уравнения принадлежит отрезку [0; 0,5]. На этом новом отрезке первая производная сохраняет свой знак (отрицательна), вторая производная тоже сохраняет знак (положительна). Вычислим

Так как на левом конце отрезка [0; 0,5] функция f(x) имеет тот же знак, что и ее вторая производная, в качестве начального приближения возьмем точку 0: х₀ = 0.

х₁ = 0 – 1 / (-7) = 0,143.

Погрешность этого значения есть (формула (7)):

что больше требуемой точности ε = 0,005, поэтому следует перейти к вычислению приближения х₂.

Погрешность второго приближения Δх₂ = 0,0003 меньше требуемой точности ε = 0,005. Учитывая погрешность округления, равную 0,0005, получим:

Задача 5. Методом итераций вычислить отрицательный корень уравнения 2х³ + 3х² – 7х + 1 = 0 с точностью до ε = 0,05.

Решение. В задаче 2 было показано, что отрицательный корень данного уравнения находится на отрезке [-3; -2].

Вычислим:

Таким образом, итерационный процесс (11) примет следующий вид:

n = 0, 1, 2, …,

а оценка погрешности (12)

В качестве начального приближения примем середину рассматриваемого отрезка [-3; -2]: x₀ = -2,5.

Далее вычислим приближение корня:

x₁ = x₀ – 1 / 17(2x₀³ +3x₀² –7x₀ + 1) = -2,853.

Оценим погрешность приближенного значения x₁ :

что больше требуемой точности ε = 0,05, поэтому следует перейти к вычислению х₂ и его погрешности.

Дальнейшие рассуждения аналогичны вышеприведенным, а весь итерационный процесс удобно оформить в виде следующей таблицы:

Таблица 3.

N	Xn-1	Xn	Δ Хn
1. 2. 3. 4.	-2,5 -2,857 -2,791 -2,816	-2,853 -2,791 -2,816 -2,807	0,848 0,149 0,060 0,022

Из таблицы 3 видно, что требуемая точность достигнута и можно принять

Следует отметить, что все вычисления велись с двумя запасными знаками, а погрешность округления (0,003) добавлена к погрешности метода.

Задача Д1.

Отделить все корни уравнения f(x)=0 и вычислить 3 корня с точностью до трех знаков различными методами (хорд, касательных, итераций).

1. x³–10x+2=0 x³–10x+2=0

2. x⁵–7x+1=0

3. 5cos x+x=0

4. x³–9x+2=0

5. x⁵–6x+2=0

6. 2x³–3x²–12x–5=0

7. 3sin x – x – 0,2=0

8. x³–3x–1=0

9. 2x³–3x²–12x–5=0

10. 2x³–9x²–60x+1=0

11. x³–3x²–9x+3=0

12. x³–2x²–4x+7=0

13. x³–8x+2=0

14. x³–7x+3=0

15. x³–12x+1=0

16. 2x³–7x+3=0

17. 3x³–5x+1=0

18. x³–2x²–5x+3=0

19. 4cos x–x=0

20. 2x³–9x+2=0

21. 2x³–2x²–7x–2=0

22. x³–11x+4=0

23. x³–5x²+7=0

24. x³–3x²+1=0

25. x⁵–6x²+1=0.

Дата добавления: 2014-12-25