![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Введение. 1. Исходным понятием теории вероятностей является случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при воспроизводимой совокупности
1. Исходным понятием теории вероятностей является случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при воспроизводимой совокупности условий опыта (испытания, наблюдения). Например, появление орла при бросании монеты, выпадение 11 очков при бросании двух игральных костей, попадание в поле допуска размера очередной детали с автоматической производственной линии, существенное улучшение состояния у группы больных после лечения определенным препаратом и т.д. Из перечисленных примеров видно, что каждое событие обладает некоторой степенью возможности. В примере с монетой и игральными костями сразу можно решить, что выпадение орла более возможно, чем выпадение 11 очков при бросании двух игральных костей, а для анализа стабильности технологического процесса или действия лекарственного препарата необходимо иметь фактические результаты наблюдений. С понятием случайного события связано другое фундаментальное понятие теории вероятностей – понятие случайной величины (СВ). Под случайной величиной понимается величина, которая в опыте с несколькими возможными исходами может принимать то или иное значение. Например, число очков при бросании игральной кости, частота появления «орла» в серии повторных опытов с монетой, фактическое количественное значение параметра при контроле и испытаниях промышленной продукции, очередной результат в серии повторных измерений и т.д. Законом распределения случайной величины называется любое правило (функция), позволяющее однозначно определить вероятности возможных значений случайной величины. Наиболее просто обстоит дело, когда множество возможных значений случайной величины конечно либо счетно и может быть отождествлено с пространством событий. Например, появление любого из чисел от «1» до «6» при бросании игральной кости равновероятно с вероятностью Очень важную роль при анализе CB играют ее числовые характеристики, позволяющие определить ее положение на числовой оси, величину рассеивания – степень случайности и форму рассеяния. Важнейшей числовой характеристикой CB является ее среднее значение или математическое ожидание, определяемой как Если под В механической интерпретации – среднее значение неслучайной величины а равно ей самой, – для любой пары CB Х и Y и неслучайных чисел a и b – дисперсия неслучайной величины a равна нулю, –для любой пары независимых CB 2. Наиболее употребительными являются следующие виды дискретных CB. Гипергеометрическое распределение в наглядной интерпретации представляет собой распределение числа черных шаров в случайной выборке или без возвращения из корзины (числа дефектных единиц при выборочном контроле партии штучной продукции). Это распределение совпадает с законом «Спорт-лото»
Биномиальное распределение. Рассмотрим асимптотику при
После группировки сомножителей и выделения
Откуда получаем асимптотику В чистом виде биноминальное распределение возникает в выборке с возвращением, когда вероятность успеха каждого испытания не зависит от результатов других испытаний и является величиной постоянной.Числовые характеристики биномиального распределения имеют вид: В предельном случае, когда количество опытов n в испытаниях неограниченно возрастает, а вероятность успеха q неограниченно убывает, но так, что их произведение Перепишем биномиальный закон в виде
Первые три сомножителя на основании второго замечательного предела дадут
Таким образом, для распределения числа редких событий получаем асимптотику в виде распределения Пуассона:
Помимо рассмотренного «предельного» случая, распределение Пуассона (распределение вероятностей редких событий) является одним из фундаментальных результатов во многих других приложениях теории вероятностей (теория надежности, теория случайных процессов и т.д.). У пуассоновской CB среднее и дисперсия равны между собой: 3. Муавр, а позднее независимо от него Лаплас исследовали биномиальное распределение при больших n и установили приближенную формулу (теорема Муавра-Лапласа): При этом дискретные точки нормированной CB
а нижний предел в интеграле при больших Функция, стоящая под интегралом Функцию распределения CB или интеграл вероятностей, определяется уравнением Таким образом, можно осуществить переход от дискретных CB к непрерывным, важнейшей из которых является именно нормальная CB. Плотность распределения и числовые характеристики CB X, связанной с CB Z отношением X =s Z +m, имеют следующий вид:
Глава 1. Теоретические основы статистического моделирования случайных процессов
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 409; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |