КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Парадокс инспекции и смежные вопросы
1. Сами по себе числовые характеристики (4.1.8) носят сугубо иллюстративный характер, и собственно задача про счастливый билет выбрана из большого ряда аналогичных комбинаторно-вероятностных схем для большей занимательности и наглядности. Гораздо более принципиально важным является фундаментальное свойство геометрического распределения, для иллюстрации которого и был приведен этот демонстрационный пример. Зададимся вопросом: какова будет сравнительная продолжительность ожидания покупки счастливого билета, если в одном случае вести отсчет от очередного счастливого билета, а в другом – от первого попавшегося? Предположим, что из первых k испытаний ни одно не привело к успеху, тогда условная вероятность успеха в (k +1) -ом составит (4.2.1) Подставляя в (4.2.1) ряд распределения, получим (4.2.2) Таким образом, знание «истории» никак не влияет на прогноз относительно результата очередного испытания. Стало быть, каждый билет может считаться первым, и на поставленный вопрос можно дать вполне определенный ответ: время ожидания не зависит от начала отсчета, и «счастливчик» имеет ровно такие же шансы на очередной успех, как и его менее удачливый попутчик. 2. Из независимости от начала отсчета следует, что в качестве него может служить произвольная (случайная) точка t * на оси t. Но тогда расстояние до ближайшего следующего события потока (вре-мя ожидания R) и время, прошедшее от ближайшего предыдущего события (время опоздания Q на рис.4.2.1), имеют такой же закон распределения, как и интервал между событиями. В силу стационарности потока R и Q независимы, стало быть, их сумма – интервал, накрывающий случайную точку t * имеет распределение Эрланга второго порядка: .
Рис. 4.2.1. Схема расположения событий потока на оси времени
Но, с другой стороны, интервал между соседними событиями имеет показательную ПР . Возникающий, так называемый, парадокс инспекции разрешается довольно просто. В качестве наводящих рассуждений рассмотрим модельный пример. Пусть интервал между событиями (неперекрывающиеся отрезки на оси t) может принимать только два возможных значения с вероятностями р 1 и р 2=1- р соответственно. На ось t бросается случайная точка t*. Требуется найти закон распределения интервала, в который попала брошенная точка. В данной постановке применима формула Байеса. Гипотезы и имеют априорные маргинальные (безусловные) вероятности , (4.2.3) а и есть условные априорные вероятности. Искомые апостериорные вероятности после сокращения полученных дробей, составят: (4.2.4) Легко заметить, что оба выражения (4.2.4) можно объединить в одно: (4.2.5) Ряд (4.2.5) сдвигается в сторону большего значения tk, и среднее составит . (4.2.6) Для численной иллюстрации положим . Результаты сведены в табл. 4.2.1. Таблица 4.2.1
Увеличивая количество возможных значений интервала и переходя в пределе к непрерывной ПР f T(t), получим следующее соотношение , (4.2.7) где . В частности, для показательной ПР . Таким образом, случайная точка (инспектор) изменяет закон распределения покрывающего ее интервала в сторону больших значений. Прежде чем этот парадокс инспекции был разрешен в 30-40 гг. прошлого века, он изрядно попортил нервы специалистам, занимающимся испытаниями на надежность. 3. Рассмотренная интерпретация является проявлением закономерности более общего характера. Пусть вероятность попадания случайной точки в область пространства, соответствующую dx пропорциональна , где X – положительно-определенная СВ, а - произвольная положительно‑определенная функция без особенностей. Проделав цепочку рассуждений, аналогичную только что рассмотренной, получим
, (4.2.8) где . (4.2.9) Пусть, например, fX (x) — ПР гранулометрического спектра порошкового материала (удельная доля числа частиц диаметром среди попавших в поле микроскопа с большой глубиной резкости), частицы которого без большой натяжки можно считать шарами. Для пересчета ПР массогранулометрического спектра (удельной доли массы, содержащейся в частицах диаметром ) нужно положить j(x)= x 3. Если частицы имеют форму дисков, то j(x)= x 2 и т.д. В частности, для частиц игольчатой формы решение совпадает с (4.2.7). Можно решить и обратную задачу, т.е. если путем непосредственных измерений может быть определена f j, а требуется знать f X. Поделив (4.2.8) на j(), проинтегрируем левую и правую части по всей полубесконечной прямой: . (4.2.10) Разрешая (4.2.8) относительно f X с учетом (4.2.10), получим: . (4.2.11)
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 554; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |