С непрерывным приращением

Модели процессов

Случайных процессов

1. Наряду с рассмотренным в пп.4.1,4.3 потоком событий со случайным интервалом между событиями представляет интерес другая постановка проблемы. Например, отклонения от номинала параметров единиц продукции в порядке очередности их выхода с автоматической производственной линии, суточные колебания биржевых цен, котировок и валютных курсов, годовые колебания среднесезонной температуры, количества осадков и т.д. В процессах подобного типа выход, очевидно, формируется под воздействием множества случайных факторов, и, в силу центральной предельной теоремы, следовало бы ожидать нормальность выходного рассеяния. Однако, в действительности, рассеяние зачастую обнаруживает отклонения от нормальности, которые невозможно списать на случайные колебания выборочных распределений, то есть значимые.

Простейшей моделью для описания данного феномена может служить обобщение понятия случайной величины путем ее параметризации. Таким образом, вместо СВ и ее ПР введем в рассмотрение и соответственно ПР . Нормальная СВ, как было показано в п.1.1, однозначно определяется своим средним и СКО . Следовательно, обобщение может заключаться в параметризации и . Причем и должны быть «адиабатическими инвариантами» процесса, то есть изменяться гораздо медленнее, чем характерная «скорость» процесса (в противном случае ситуация будет эквивалентна постоянным, равным усредненным по времени ).

Для технологической линии длительность периода стабильности (почти постоянных m(t) и s(t)) должна соответствовать значимому технологическому циклу или времени выпуска продукции объемом, соответствующим репрезентативной выборке, для климатических колебаний время должно составлять несколько десятков лет и т.д.

Для читателя, которого термин «адиабатический инвариант» приводит в некоторое смущение, суть дела можно разъяснить с помощью простого умозрительного опыта. Рассмотрим сосуд с водой, раскачивающийся на длинной тонкой нити, – математический маятник. Представим, что нить перекинута через гвоздь, так что ее можно удлинять или укорачивать, а в дне сосуда имеется небольшое отверстие. При малых скоростях изменения длины нити и истечения воды период колебаний, очевидно, будет меняться, но с сохранением колебательного характера движения (строго говоря, под адиабатическим инвариантом гармонического осциллятора в теоретической физике понимается постоянство отношения средней за период энергии колебаний к длительности периода ). Дать численную оценку того, насколько малыми должны быть скорости, не представляется возможным, однако очевидно, что существуют пороговые значения, превысив которые движение сразу потеряет исходную форму.

2. Таким образом, с помощью наглядной физической аналогии, естественным образом возникает понятие мгновенной плотности нормального распределения:

. (5.1.1)

Усредненная за период наблюдения ПР представляет собой наложение, т.е. рассмотренную в п.1.2 суперпозицию СВ или вероятностную смесь законов распределения. Парциальная доля мгновенной ПР (5.1.1) пропорциональна доле времени нахождения в окрестности точки пространства координат , т.е. обратно пропорциональна произведению скоростей:

. (5.1.2)

Полная усредненная ПР, таким образом, будет представлять собой обобщение полученной в п.1.2 формулы суперпозиции на случай бесконечно большого числа компонент с бесконечно малыми удельными долями:

. (5.1.3)

Соотношение (5.1.3) допускает получение формул конечного вида только в некоторых частных случаях. Чаще всего приходится довольствоваться квадратурным представлением. Однако это неудобство, при наличии современного программно-математического обеспечения, является совершенно несущественным, зато открываются широкие возможности для статистического моделирования. На рис.5.1.1 показаны ПР (5.1.3), возникающие при модельном осциллирующем (синусоидальном) тренде среднего (а) и СКО (б). Как видно из графиков (что является прямым следствием вида зависимости (5.1.1)), наибольшую вариативность (полимодальность, ассиметрию) ПР приобретает из-за тренда среднего. Тренд СКО проявляет себя как чисто эксцессивная аномалия. По терминологии, принятой в статистическом контроле качества, тренд среднего принято интерпретировать как разладку по настройке, или смещение центра настройки. Тренд СКО (главным образом возрастающий) интерпретируется как разладка по рассеянию.

а б

Рис.5.1.1. Вид плотности распределения совокупности с осциллирующим трендом среднего (а) и осциллирующим трендом СКО (б) в сравнении с кривой Гаусса

Путем комбинирования элементарных трендов можно получить неограниченное многообразие модельных процессов для статистического моделирования и анализа схем управления.

3. В качестве примера рассмотрим простейшие виды трендов, при которых ПР (5.1.3) допускает получение формул конечного вида. Пусть (равномерный тренд среднего). Исключив из (5.1.3) равные нулю , получим

(5.1.4)

Совершив замену переменных , преобразуем (5.1.4) к виду

. (5.1.5)

Вид ПР (5.1.5) показан на рис.5.1.2.

Рис. 5.1.2. Плотность распределения совокупности с равномерным трендом среднего в сравнении с кривой Гаусса

Распределение (5.1.5) имеет ту же форму, что и рассмотренная в п.3.5 оперативная характеристика измерительной системы при приемке по допуску. Однако в данном случае (5.1.5) является именно плотностью, в частности, она удовлетворяет условию нормировки. При равномерном тренде СКО вид ПР аналогичен приведенной на рис.5.1.1б.

Равноускоренный тренд среднего смоделируем зависимостью . При этих условиях (5.1.3) примет вид

. (5.1.6)

Вид ПР (5.1.6) при показан на рис.5.1.3.

Рис. 5.1.3. Плотность распределения совокупности с ускоренным слева

направо (замедленным справа налево) трендом среднего в сравнении

с кривой Гаусса

Как видно из последнего графика, ПР приобретает асимметрию (удлиненный хвост) в направлении увеличения скорости. Часто в литературе распределения подобного вида трактуются как «ускоренный износ инструмента». Однако это не вполне корректно, поскольку ускоренное смещение центра рассеяния вправо – всего лишь одна из возможных причин. Такой же вид будет иметь ПР, например при замедлении движения в противоположном направлении. Отклонения от нормальной формы, подобные рассмотренным, проявляются на гистограммах, построенных по репрезентативным выборкам реальных процессов.

Дата добавления: 2014-12-26