Центр масс

Степени свободы

Числом степеней свободы системы материальных точек называется число независимых параметров, позволяющих полностью задать положение системы в пространстве.

Если твердое тело состоит из n материальных точек, то необходимо задать 3 n координат, но эти координаты не являются независимыми. Возьмем одну материальную точку в декартовой системе координат. Очевидно, что число степеней свободы будет равно 3, т.к. необходимо задать 3 координаты точки. Если две материальные точки жестко связаны между собой, то число степеней свободы i = 2×3-1 = 5

Число степеней свободы твердого тела i = 6 т.к. для жесткого закрепления тела необходимо задать координаты трех точек и вычесть три жестких связи между ними.

Можно разделить число степеней свободы твердого тела на сумму трех степеней свободы, связанных с описанием поступательного движения и трех степеней свободы, соответствующих вращательному движению вокруг трех осей. Углы поворота вокруг этих осей называются углами Эйлера.

Эйлер Леонард (1707 – 1783), математик, механик и физик, родился в г. Базеле (Швейцария), учился в Базельском университете. В 1727 г. по рекомендации братьев Николая и Даниила Бернулли начал работать в Петербургской АН. Исследования относятся ко многим разделам математики: теории функций комплексного переменного, вариационного исчисления, теории специальных функций. Работы Эйлера в физике посвящены механике, оптике, акустике, теплоэлектричеству. Ввел понятие «эфира», в оптике создал собственную волновую теорию света. Установил закон сохранения импульса (1746), развил теорию моментов инерции. Наряду с Д.Бернулли является создателем механики жидкостей и газов.

Центром масс, или центром инерции системы материальных точек, называется точка, положение которой задается радиус-вектором:

(5.7)

Для случая двух материальных точек, расположенных на оси x (рис. 5.6):

(5.8)

где - координаты точек с массами соответственно;

- координата центра масс.

Покажем, что центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил. Найдем сначала скорость центра масс, для этого продифференцируем (5.7) по времени

Рис. 5.6.

(5.9)

где p - суммарный импульс всех материальных точек тела.

Ускорение центра масс

(5.10)

Если записать второй закон Ньютона для всех точек твердого тела в виде (5.6), то находим

(5.11)

отсюда следует

(5.12)

Ускорение, с которым движется центр масс твердого тела, равно отношению результирующей внешней силы к массе тела.

Движение твердого тела можно рассматривать как движение его центра масс. Поскольку в замкнутой системе сумма внешних сил равна нулю, , то Внутренние силы не могут изменить скорость движения центра масс, поэтому в замкнутой системе

(5.13)

Дата добавления: 2014-12-26