Принцип наименьшего действия Гамильтона

Для любой механической системы существует функция S, называемая действием, которая для реального движения должна принимать наименьшее (или наибольшее) значение. Следовательно, вариация действия S = 0. Для свободной частицы, перемещающейся вдоль некоторой мировой линии из точки q₁ в точку q₂ (рис.19.1) действие имеет вид

(19.1)

где dS - элементарный интервал,

- постоянная, характеризующая данную частицу.

Рис.19.1.

Действие можно представить как интеграл по времени

(19.2)

где - функция Лагранжа для данной механической системы.

Поскольку находим

(19.3)

Отсюда получим функцию Лагранжа для частицы

(19.4)

Поскольку функция Лагранжа в классической механике

, (19.5)

где T - кинетическая энергия;

U - потенциальная энергия;

то в предельном случае c функция Лагранжа должна принимать значение

(19.6)

т.к. для свободной частицы U = 0.

Разложим функцию Лагранжа в ряд по V/c:

(19.7)

Постоянную можно опустить, т.к. функция Лагранжа, как и энергия, определяется с точностью до постоянной:

, (19.8)

отсюда получим

. (19.9)

Таким образом, для свободной материальной точки функция Лагранжа

. (19.10)

Дата добавления: 2014-12-26