Функцій в економіці

.

І способи її завдання

Визначення функції

Функції однієї змінної. БЕЗПЕРЕРВНІСТЬ функції однієї змінної.

Якщо кожному числу з деякого безлічі відповідає одне і тільки одне число , то кажуть, що на безлічі заданна функія.

Мінлива при цьому називається незалежною змінною (або аргументом), а змінна — залежною.

Спосіб (правило), за допомогою якого встановлюється відповідність, що визначає дану функцію, позначають тієї чи іншої буквою: . Т.е. обставина, що є функція аргументу , стисло висловлюють записом: або и т.п.

Безліч називається областю визначення функції і позначається , а безліч всіх чисел, що відповідають різним числам — областю значень цієї функції і позначається .

Ці області можуть представляти собою окремі точки числової прямої, відрізки, інтервали цієї прямої, безліч всіх действительных чисел.

Розрізняють такі способи завдання функції: табличний, графічний, аналітичний (за допомогою формул). Нехай задані прямокутна система координат і функція .

Графіком функції називають безліч всіх точок площини з координатами , де .

Для функції, заданої аналітично, тобто рівнянням , під графіком розуміють безліч точок площині, координати яких задовольняють рівняння .

Графік функції є деяка лінія на площині. Наприклад, рівняння задає функцію, графіком якої є парабола.

Функція, задана аналітично рівнянням , визначена в точці , якщо можливо обчислити . Безліч таких точок утворює область визначення функції.

Приклад 6.1. Знайдіть область визначення функції:

а) ; б) ; в) .

а) Дріб визначена, якщо її знаменник не дорівнює нулю. Область визначення даної функції можна знайти з умови . Таким чином, .

б) Функція визначена, якщо подкоренное вираз неотрицательно, тобто . Значить, .

в) Логорифм визначений, коли

.

Значить, .

Основными (или простейшими) элементарными функциями называются:

постоянная функция	;
статечна функція	, ;
показова функція	, ;
логарифмічна функція	, , ;
тригонометричні функції	; ; ; ;
зворотні тригонометричні функції	; ; ; .

Функція, аргумент якої в свою чергу є функція (, де ), називається складною функцією (або композицією функцій).

Приклад 6.2. Функція ,- найпростіша

—складна (, ).

Приклад 6.3. Функція складна, яка може бути представлена наступним ланцюгом основних елементарних функцій: , , .

Елементарними функціями називаються функції, які виходять з основних елементарних функцій за допомогою кінцевого числа арифметичних операцій ()і композицій (тобто утворення складних функцій). Всі інші функції називаються Неелементарні.

Приклад 6.4. Прикладом Неелементарні функції може служити функція виду

Формула визначає явний спосіб завдання функції. Однак у багатьох випадках доводиться використовувати неявний спосіб завдання функції.

Неявній називають функцію, яка задана рівнянням виду , недозволеним щодо функції .

Приклад 6.5. Рівняння задає неявно функцію .

Нехай для будь-яких різних значень справедливо, що . Тоді для будь-якого знайдеться тільки одне значення , таке, що .

Функція , визначена на , називається зворотної для функції .

Приклад 6.6. Знайдіть зворотну функцію для даної:

а) ; б) ; в) .

а) Для функції функція , або в стандартній формі .

б) Дозволимо рівняння щодо: . Зворотною функцією є функція .

в) Для функції зворотного функцією є функція , або в стандартній формі .

Графіки взаємно обернених функцій симетричні щодо бісектриси першого і третього координатних кутів.

§ 2. Використання елементарних

1.прості відсотки.

,

— початкова сума,

— кінцева (накопичена за років) сума, — питома процентна ставка, — процентна ставка.

Приклад 6.7. Початкова сума вкладу становила 5000 ден.ед. Скільки складе накопичена сума через три роки при процентній ставці 4%?

За умовою задачі , , , . тоді (грош).

2. Складні відсотки.

або ,

де — коефіцієнт складного відсотка.

Приклад 6.8. За період виконання п'ятирічного плану обсяг продукції має зрости на 85%. Яким повинен бути середній темп зростання?

Нехай початковий обсяг продукції становив одиниць. Через 5 років він повинен скласти одиниць. (за умовою завдання). З іншого боку, за формулою складних відсотків . отже, .

тоді . Відомо, що .

Значить для того, щоб обсяг продукції за 5 років зріс на 85%, середній темп зростання повинен становити 13,1%.

3 нарахування відсотків раз у рік.

.

4. Періодичний внесок.

У банк через певний час (рік) вноситься постійна сума (періодичний внесок) під складні відсотки при нормі %. Через років накопичиться сума:

.

Приклад 6.9. Яка сума накопичиться через 10 років, якщо щорічний внесок становить 3000 грош, а ставка складного відсотка 5% річних?

За умовою задачі , , , , .

Тоді (грош).

5.функція попиту.

За певних умов попит на деякий товар є функція ціни. Ця так звана функція попиту. нехай — попит на товар, — цена товара. Залежність між попитом і ціною - функція попиту - виражається формулою

.

Приклад 6.10. Функція попиту може мати різний вигляд, наприклад

а) . У цьому випадку знаходимо такі відповідності:

ціна — попит ,

ціна — попит .

б) . У цьому випадку знаходимо такі відповідності:

ціна — попит ,

ціна — попит .

Залежність між попитом і ціною можна поставити двояко:

1) як залежність попиту від ціни;

2) як залежність ціни від попиту.

У першому випадку говорять про функції попиту, в другому про функції цін попиту; в цьому випадку функція є , а незалежна змінна є .

6.Сумарна виручка. якщо кількість проданого товару помножити на його ціну , отримаємо сумарну виручку продавця або ж сумарні витрати покупця. Отже, сумарна виручка

.

Дата добавления: 2014-12-26