Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

Необходимое и достаточное условие

Определение уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u (x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

где C − произвольная постоянная.

Пусть функции P (x,y) и Q (x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P (x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u (x,y):

3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u (x,y) во второе уравнение:

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ (y):

5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ (y) и, следовательно, функцию u (x,y):

6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ (x).

Дата добавления: 2014-12-26