Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида

то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Вопрос 11. Определение частного решения линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка методом вариации произвольных постоянных(метод Лагранжа).

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами b, c:
y''(x) + by'(x) + cy(x) = 0. (1)

Уравнение (1) имеет частное решение вида y(x) = . Коэффициент k удовлетворяет алгебраическому уравнению второго порядка
+ bk + c = 0, (2)

которое возникает после подстановки функции y(x) = в уравнение (1). Уравнение (2) имеет либо два различных корня , , либо один кратный корень .

В первом случае линейно независимые решения уравнения (1) имеют вид

y(x) = (x) = , y(x) = (x) = (3)

Во втором случае линейно независимыми решениями являются функции
y(x) = (x) = , y(x) = (x) = x (4)

Линейная независимость решений означает, что не найдется такой константы С ≠ 0, что тождественно по x выполняется соотношение (x) = С (x).

И в первом, и во втором случае общее решение уравнения (1) может быть записано в виде линейной комбинации
y(x) = (x) + (x), (5)

где , произвольные постоянные.

Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
y''(x) + by'(x) + cy(x) = f(x) (6)

заключается в том, что решение уравнения (6) ищут в виде (5), но допускают зависимость , от независимой переменной x, т.е. в виде
y(x) = (x) (x) + (x) (x). (7)

Найдем первую производную решения (7)
y'(x) = (x) (x) + (x) (x) + (x) (x) + (x) (x). (8)

Потребуем, чтобы сумма первых двух членов в правой части формулы (8) была равна 0, т.е.
(x) (x) + (x) (x) = 0, (9)
и, таким образом:
y'(x) = (x) (x) + (x) (x). (10)

В силу (10) для второй производной функции y(x) имеем выражение
y''(x) = (x) (x) + (x) (x) + (x) (x) + (x) (x). (11)

Подставляя (7), (10) и (11) в уравнение (6) и производя группировку членов, приходим к соотношению
(x)(a(x) (x) + b(x) (x) + c(x) (x)) + (x)(a(x) (x) + b(x) (x) + c(x) (x)) + a(x)( (x) (x) + (x) (x)) =f(x) (12)

В силу того, что функции (x), (x) решения линейного однородного уравнения (1), уравнение (12) принимает вид
(x) (x) + (x) (x) = f(x) (13)

Таким образом, для функций (x), (x) справедлива следующая система дифференциальных уравнений первого порядка
(x) (x) + (x) (x) = 0,
(x) (x) + (x) (x) = f(x) (14)

Из системы (14) можно найти, что
(x) = ,

(x) = . (15)

Из (15) функции (x), (x) находятся интегрированием.

Если для уравнения (3) поставлена задача Коши, т.е. заданы начальные условия
y(0) = , y'(0) = , (16)

то для функций (x), (x) можно написать формулы
(x) = dt + α (17)
(x) = dt + β (18)

где α и β постоянные интегрирования. Они находятся подстановкой решения (7), в котором (x), (x) задаются формулами (17), (18), в начальные условия (16). В результате получаются алгебраические уравнения для α и β:
α (0) + β (0) = ,
α (0) + β (0) = . (19)

Решая их, находим α и β.

Дата добавления: 2014-12-26