Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные

Случай 1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные

Предположим, что характеристическое уравнение L (λ) = 0 имеет n корней λ ₁, λ ₂,..., λ_n. В этом случае общее решение дифференциального уравнения записывается в простом виде:

где C ₁, C ₂,..., C_n − постоянные, зависящие от начальных условий.

Пусть характеристическое уравнение L (λ) = 0 степени n имеет m корней λ ₁, λ ₂,..., λ_m, кратность которых, соответственно, равна k ₁, k ₂,..., k_m. Ясно, что выполняется условие

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Видно, что в формуле общего решения каждому корню λ_i кратности k_i соответствует ровно k_i членов, которые образуются умножением x в определенной степени на экспоненциальную функцию exp(λ_i x). Степень x изменяется в интервале от 0 до k_i − 1, где k_i − кратность корня λ_i.

Дата добавления: 2014-12-26