Структура решения линейного неоднородного уравнения

Случай 4. Корни характеристического уравнения комплексные и кратные

Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные

Если коэффициенты дифференциального уравнения являются действительными числами, то комплексные корни характеристического уравнения будут представляться в виде пар комплексно-сопряженных чисел:

В этом случае общее решение записывается как

Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней α ± iβ кратности k соответствует 2 k частных решений

Тогда часть общего решения дифференциального уравнения, соответствующая данной паре комплексно-сопряженных корней, конструируется следующим образом:

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y ₀(x)соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y ₁(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Дата добавления: 2014-12-26