Производные высшего порядка

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢= f ¢(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается: .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка - ,

производная четвертого порядка -

и вообще производная n-го порядка - .

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная , вычисленная при постоянном . Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном . Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования. Пример 1 . Рассматривая как постоянную величину , получим . Рассматривая как постоянную величину , получим . Пример 2 ; ; ; . Полным приращением функции в точке называется разность , где и произвольные приращения аргументов. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть Полный дифференциал функции вычисляется по формуле Для функции трех переменных . Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Обозначения частных производных второго порядка: ; ; ; . Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны: . Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть . Если и – независимые переменные и функция имеет непрерывные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле . Пример 3 . Найти , , . Решение. Найдем частные производные: ; . Дифференцируя повторно, получим ; ; .  

Задание для практической работы по теме «Производные и дифференциалы функции нескольких переменных».

Для функции z=f(x,y) найти _{, , .}

Вариант 1. z=x³-3xy² Вариант 6. z=4x²-7xy³

Вариант 2. z=2x²-5xy³ Вариант 7. z= e^-x+2xy

Вариант 3. z=5x⁴-8xy Вариант 8. z=x^y

Вариант 4. z=6x²-xy³ Вариант 9.

Вариант 5. z=e^xy Вариант 10. z=x²-2xy³

Практическая работа № 5

Тема 1.5:«Нахождение табличных интегралов. вычисление интегралов с использованием их свойств и таблицы интегралов».

Цель: Находить табличные интегралы, вычислять интегралы с использованием их свойств и таблицы интегралов.

Теоретический материал :

Определение. Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x Î X справедливо равенство:

F ¢ (x) = f(x).

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение - ò f(x) dx.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x), то

ò f(x)dx = F(x) + C,

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла:

1) d ò f(x)=f(x)dx, 2) ò df(x)=f(x)+C,

3) ò af(x)dx=aò f(x)dx (a=const), 4) ò(f(x)+g(x))dx= ò f(x)dx+ ò g(x)dx

Таблица интегралов элементарных функций:

Задание для практической работы по теме «Нахождение табличных интегралов. Вычисление интегралов с использованием их свойств и таблицы интегралов».

Найти неопределенные интегралы используя таблицу интегралов и их свойств:

Вариант 1	Вариант 2
1. 2. 3. . 4. 5.	1. 2. 3. 4. 5.
Вариант 3	Вариант 4
1. 2. 3. 4. 5.	1. 2. 3. 4. . 5.
Вариант 5	Вариант 6
5.	5.

Практическая работа № 6

Тема 1.6: «Применение формулы Ньютона-Лейбница, свойства определенного интеграла при вычислениях. Методы интегрирования по частям и подстановкой».

Цель: Применять формулу Ньютона-Лейбница, свойства определенного интеграла при вычислениях. Освоить методы интегрирования по частям и подстановкой.

Теоретический материал :

Дата добавления: 2014-12-26