Решение. Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену

Примеры вычисления

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену. Вычислить S₄ для заданного числового ряда.

1. ;
2. ;
3. .

Решение.

1. Полагая , , ,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

, , . Сложив его члены, получим ряд

.

2. .

3. Придавая значения 1,2,3,… и учитывая, что , , ,…, получим ряд

.

Пример 2. Найти n- ый член ряда по его данным первым членам:

1. ;

2. .

1. Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n- ый член ряда имеет вид .

2. Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n- й член ряда имеет вид или .

Задание для практической работы по теме «Вычисление членов числового ряда. Вычисление частичных сумм».

Записать ряд по его заданному общему члену. Вычислить S₄ для заданного числового ряда.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Практическая работа № 12

Тема 2.2: «Применение необходимого и достаточного признаков сходимости числовых рядов и признака Даламбера»

Цель: Применять необходимый и достаточный признак сходимости числовых рядов и признак Даламбера.

Теоретический материал :

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е.

и .

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся. Если ряд сходящийся, то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Пример рядов.

Пример1. Ряд вида

(2)

называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n- ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

:

.

Ряд (1.2) принимает вид:

,

,ряд расходится;

Ряд (1.2) принимает вид:

,

не имеет предела, ряд расходится.

,

- конечное число, ряд сходится.

,

- ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2. Ряд вида

(1.3)

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

.

Сумма больше суммы, представленной следующим образом:

или .

Если , то , или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

(1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Дата добавления: 2014-12-26