Принцип двойственности. Определение 1. Функции f*(x1, , xn) называется двойственной к функции f(x1, , xn), если f*(x1

Определение 1. Функции f *(x ₁,..., x_n) называется двойственной к функции f (x ₁,..., x_n), если f *(x ₁,..., x_n) = ( ₁,..., _n).

Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:

x	f	f *

Функции f (x) = x и g (x) = двойственны сами себе:

x	f	f *	g	g *

так как f *(0)= (1).

Определение 2. Если f *(x ₁,..., x_n) = f (x ₁,..., x_n), то f (x ₁,..., x_n) называется самодвойственной.

Пример 2. Покажем, что f (x ₁, x ₂, x ₃)= x ₁Å x ₂Å x ₃ – самодвойственна:

x 1	x 2	x 3	f	f *

Если f *– самодвойственна, то ( ₁,..., _n) = f (x ₁,..., x_n), т.е. на противоположных наборах функция принимает противоположные значения.

Пример 3. Покажем, что функция х₁Úх₂ двойственна к x₁&x₂, функция х₁ х₂ двойственна к функции x₁|x₂.

x 1 x 2	f = х 1Ú х 2	f *	g = x 1| x 2	g *= x 1 x 2
0 0 0 1 1 0 1 1

Теорема о двойственных функциях

Если f * двойственна к f, то f двойственна к f *.

Доказательство. f *(x ₁,..., x_n) = ( ₁,..., _n). Найдем двойственную функцию к f *, т.е. (f *(x ₁,..., x_n))* = ( ( ₁,..., _n))* = ( ₁,..., _n) = f (x ₁,.., x_n).

Предположим, что функция задана формулой. Можно ли найти по этой формуле двойственную функцию? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Дата добавления: 2014-12-27