Дробные численные данные

M-1

Беззнаковые целые численные данные.

Десятичная и двоичная системы счисления позиционные однородные являются формальным способом записи количества. Методы преобразования чисел из одной системы в другую изменяют только форму записи целых чисел, в которой сохраняется информация о количестве

Информация (количество) в записи (m) -разрядного целого десятичного числа

(2.1) N= ∑ a_idⁱ = a_m-110^m-1 + a_m-210^m-2 + ….+ a₁10 + a0=

i=0

= (…(( 0+a_m-1 )10 + a_m-2 )10 +.. + a₁)10 + a0

где a_i -двоично-десятичная цифра, d=10, m-количество разрядов в записи десятичного числа. Запятая фиксирована в машинном формате после младшего разряда.

Ввод двухразрядного целого десятичного числа с 8-разрядного порта (m=2, n=8)

(,) (,)

Рис. 2.1. Формат двоично-десятичного целого числа в порте.

Соотношение между числом разрядов двоичного формата (n) и десятичного (m) –разрядного задается условием 2ⁿ>10^m или n= ]m*3.33[

влияет на выбор разрядности программной модели ЭВМ.

Десятичные числа преобладают в машинных вычислениях в экономике, где используется двоично-десятичный формат переменной длины с естественной запятой (System Z фирмы IBM), но могут быть использованы и форматы с фиксированной точкой (точность – одна копейка).

Машинные преобразования и вычисления с целыми числами сохраняют точность(масштаб) M=1, но ограничены диапазоном, который определяется разрядностью двоичного формата (n). Если диапазон превышает допустимый, то всегда можно увеличить абсолютную погрешность масштабированием N/M (М > 1) и перейти в диапазон целых значений с меньшей точностью (большим

масштабом). В существующих ЭВМ для вычислений с фиксированной точкой используются форматы целых двоичных чисел и целая арифметика.

Если используется фиксированный формат 4m=n для промежуточного хранения десятичных данных и обработки двоичных данных, то 2ⁿ>10^m и в преобразовании 2/10 может возникать переполнение.

Машинные преобразования целого 10/2 могут быть выполнены пересчетом количества N в двоичной системе по обобщенной рекуррентной формуле схемы Горнера [1], где i=(m-1)…0

(2.3.) S_i+1= S_i10 + a _m-i, {S₀=0,.., S_m=N } (следует из 2.1.) или

по формуле с общим членом ряда

S_i+1= S_i + B_ia_i , B_i+1=10B_i, B₀=1, S₀=0, i=0,..m-1

Программа в С51 при вводе 2-хразрядного десятичного N=a₁a₀ формула 2.1. имеет вид N= a₁ *10 + a₀ При выводе a₁=N/10, a₀= rest(a/10)

#include <reg51.h> //файл адресации регистров MCS51

main()

{ P2= (P1>>4)*10 + (P1&0x0f); //ввод 2/10 числа с порта Р1, выделение со сдвигом старшей тетрады, вывод двоичного числа в

P3=((P2/10)<<4) | (P2%10);

}

Рекуррентная формула (2.3.) может быть переписана в виде рекурсивной функции [ ] и непосредственно представлена рекурсивной программой (см. раздел 2.4.3.)

(2.4) S(i+1)=S(i)*10 + a _{m – i-1} i=0 - m, S(0)=0;

Обратное машинное преобразование 2/10 в двоичной системе может быть выполнено методом “цифра за цифрой” в обратной рекурсии.

Пусть на последнем шаге при переводе 10/2 получено двоичное число

N=S_n =S_n10 + a₀. Если S_n известно, то неизвестное a₀ – остаток от целого деления S_n-1=S_n/10. На следующем шаге a₁ – остаток при целом делении

S_n-2= S_n-1/10. Следовательно, a_i+1 – остаток целого делении S_i-1=S_i/10. В остатках a_i+1=S_i%10 будут получены последовательно цифры a₀,a₁,....a_n-1

Несмотря на то, что арифметика с фиксированной точкой большинства ЭВМ, как правило, целая, можно в Си выполнять вычисления и с дробными числами, явно или неявно используя масштабирование, преобразующее дробное в целое.

Вычисления с фиксированным форматом [(n)-фиксировано и запятая подразумевается перед старшим разрядом)] возможно на уровне Ассемблера. Схемотехника и алгоритмы выполнения арифметических операций ЭВМ с дробным (n) -разрядным форматом проще, чем с целым. Для ЭВМ первого поколения упрощение оборудования было актуально (1955-1964 ЭВМ Урал-1 – два формата 15+1, 35+1 бит, 1959-1962 в ЛИТМО-1 Иванов М.Н. и Галкин Ф.Я. на кафедре ВТ разрабатывают ЭВМ для оптических расчетов со смешанным форматом – целая часть 2 бита и дробная часть 24 бита),

Так как целая арифметика тоже должна присутствовать при расчете адресов и индексов, организации счетчиков, первые 8-разрядные микроЭВМ и все последующие выполняют целочисленные операции и приходится приспосабливаться при программировании, если достоинства дробных вычислений в конкретном приложении принципиально превосходят целые.

Информация (количество) в записи (m) -разрядного дробного в позиционной системе счисления с основанием d=10.

m

(2.5) N= ∑ a_id^(-i) = a₁10^(-1) + a₂10^(-2) + ….+ a_m10^(-m)

i=1

= 10^(-1) (a₁+10^(-1) (a₂ + …+10^(-1) (a_m-2+10^(-1) (a_m-1+10^(-1) (a_m+ 0)) …))

где a_i -двоично-десятичная цифра, d=10, m -число разрядов десятичного дробного числа c запятой, фиксированной перед старшим разрядом.

Преобразование 10/2

1)Известный метод “ручного” преобразования дробного в двоичную использует следующую рекуррентную формулу аналогичную (2.3)

b_i+1 =Si *2; b_i+1 целая часть произведения {0,1}

Si+1 = [Si*2]; остаток- дробная часть произведения

S0= N; исходное дробное количество

Для вычислений в ЭВМ требуется двоичная арифметика с десятичными числами. Обычно отказываемся от таких громоздких вычислений и применяем масштабирование, чтобы работать только с двоичными числами.

2) Рекуррентная формула для машинного пересчета N в двоичную систему

(2.5) S_i+1= (a_m-i+S_i) 10^(-1) = (a_m-i+S_i) /10

использует дробные вычисления и не приемлемо для компьютеров с целой арифметикой, поэтому применяется масштабирование для преобразования дробного в целое.

Преобразование десятичной дроби при вводе в двоичную в mcs51,

работающей с целым 8-разрядным форматом, может быть выполнено с промежуточным преобразованием целого, полученного умножением дробного на 10^m, где m- погрешность представления дроби в двоичном числе.

Тогда, применяя рассмотренный выше метод преобразования целых (2.3), получим (n) -разрядное двоичное целое число B₂

Для получения дробного двоичного в масштабе 2ⁿ необходимо выполнить деление B₂*2ⁿ/10^m = B₂*2ⁿ в удвоенном формате 2n.

Умножением на основание можно вернуться к исходному дробному десятичному. Двоичный код целого числа B₂*2ⁿ (дробное в масштабе 2ⁿ) совпадает с дробным двоичным B₂.

(,) (,)

Рис. 2.1. Формат двоично-десятичного дробного числа в порте.

Дата добавления: 2014-12-27