Программа нахождения корня методом половинного деления

NEXT

PRINT s

Отличие методов заключается лишь в одном операторе. Для метода прямоугольников он показан как комментарий.

Следует отметить, что при уменьшении шага интегрирования погрешность любого метода снижается, но поскольку метод трапеций более точен, здесь необходимая точность будет достигнута быстрее.

¶Определение действительных корней нелинейных алгебраических уравнений. Часто исследование математических моделей, например технологических процессов, приводит к необходимости решить то или иное алгебраическое уравнение, причем во многих случаях прямое аналитическое решение его затруднено или невозможно. Например, невозможно аналитически решить любое уравнение пятой степени. В связи с вышесказанным, были разработаны приближенные численные методы определения корней таких уравнений. Численное решение нелинейных алгебраических уравнений проводят в два этапа.

На ПЕРВОМ этапе необходимо отделить корни, т.е. найти такие интервалы изменения переменной, где расположен один корень.

Пусть задано уравнение: F(X,P1,P2,...,Pn) = 0.

Здесь: F – заданная функция,

X – неизвестная величина,

P1, P2,..., Pn – коэффициенты.

Решить заданное уравнение – значит найти значения X (корни) ему удовлетворяющие. При любых других значениях F(X,P1,P2,...,Pn)#0.

Если заменить уравнение функцией Y=F(X,P1,P2,...Pn), а затем нарисовать ее график, то точки пересечения функцией оси Х и будут ее корнями. Признаком наличия корня на интересующем отрезке может служить противоположность знаков функции на его концах. Формальным признаком, удобным для программирования, является отрицательность произведения значений функции на концах отрезка.

На ВТОРОМ этапе определяют точное значение каждого корня.

Одним из самых простых методов такого определения является метод половинного деления. Суть метода иллюстрирует рис. 2.8.3 для функции Y=F(x). Положим, что определены границы интервала [a,b], внутри которого находится один корень функции Y=F(x). Исходный диапазон АВ делится пополам. Определяется тот из двух новых отрезков, на котором находится корень. На рисунке это отрезок АВ1. Этот новый отрезок снова делим пополам, снова определяем участок, на котором находится корень (А1В1). Затем снова (А2В1) и т.д. до тех пор, пока очередной отрезок не станет <E. Тогда в качестве корня можем взять любую из, ограничивающих последний отрезок, точек, например А. Формальным признаком пересечения кривой оси Х и наличия на участке корня являются разные знаки функции на краях отрезка. Иными словами – отрицательность произведения значений Y в этих точках. Алгоритм решения изображен на рис. 2.8.4, а программа ниже.

INPUT “Введите левую и правую границы A и В ”, a, b,

INPUT “Введите допустимую погрешность E ”, e

y1=COS(a): y2=COS(b) ‘вычисляем функцию на границах отрезка

WHILE ABS(b-a)>=e ‘сравниваем длину отрезка с погрешностью

‘если отрезок длиннее, вычисления повторяются снова

c=(b-a)/2+a ‘находим середину нового отрезка

y3=COS(c) ‘вычисляем функцию в этой точке

‘если на этом отрезке функция пересекает ось Х, в качестве

‘новой левой границы берем эту точку, иначе берем ее в качестве

IF y1*y3 > 0 THEN a=c ELSE b=c ‘правой границы

Дата добавления: 2014-12-27