Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Уравнения плоскости





 

Рассмотрим ортонормиро-ванный базис в пространстве и найдем уравнение плоскости, проходящей через точку перпен-дикулярно вектору Вектор называют нормалью (вектором нормали).

Пусть – произвольная (текущая) точка плоскости. Тогда вектор =

= перпендикулярен вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю

. (1)

Уравнение (1) и есть уравнение искомой плоскости в векторном виде. Перепишем его в скалярном виде

, (2)

или , (3)

где

Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости.

Если нормаль единичная, т.е. =

= , то уравнение плоскости называют нормальным. Из (1) получим

, (4)

где

Выясним геометрический смысл величин, входящих в нормальное уравнение плоскости (4). Углы – это углы между ортами и нормалью направленной от начала координат к плоскости, – расстояние от начала координат до плоскости.

Пусть произвольная точка, не лежащая в плоскости.

Из рисунка видно, что

или . (5)

Величину называют отклонением точки от плоскости. Отклонение может отличаться от расстояния точки от плоскости только знаком. Из (5) видно, чтобы найти отклонение точки от плоскости, достаточно в нормальном уравнении плоскости заменить текущие координаты на координаты точки .

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Найти расстояние точки от искомой плоскости.

Решение. Воспользуемся уравнением (2). Получим

, (6)

искомое уравнение плоскости. Запишем его в нормальном виде. Чтобы записать общее уравнение плоскости (3) в нормальном виде, достаточно умножить его на нормирующий множитель , где . Поскольку в нашем случае D = 4 > 0, то . Умножая уравнение (6) на получим нормальное уравнение плоскости

. (7)

Отклонение найдем по формуле (5).

Расстояние точки от плоскости очевидно равно

Пусть в общем уравнении (3) все коэффициенты A, B, C и D отличны от нуля. Тогда его можно переписать в виде

или (8)

Уравнение (8) называют уравнением плоскости в отрезках. Легко убедиться, что , , – это отрезки на осях координат, отсекаемые плоскостью (убедиться в этом самостоятельно).



Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки , , . Выберем произвольную точку на плоскости. Тогда векторы , , будут лежать в этой плоскости. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е.

или . (9)

Уравнение (9) и есть искомое уравнение .

Рассмотрим угол между двумя плоскостями

и . (10)

Т.к. угол между нормалями , и линейный угол двугранного угла между плоскостями равны, то очевидно , (11)

где -угол между плоскостями.

Из (11) следует условие перпендикулярности двух плоскостей

. (12)

Если плоскости параллельны, то нормали коллинеарны, следовательно,

. (13)

Равенство (13) выражает условие параллельности плоскостей.

Запишем теперь уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам и . Пусть произвольная точка плоскости. Тогда векторы и компланарные, следовательно, линейно зависимые, т.е. или

. (14)

Здесь некоторые параметры, а уравнение (14) называется векторным параметрическим уравнением плоскости.

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 345; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.026 сек.