О гуманитарной значимости математических моделей

ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ.

ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Известно, что корпус корабля разделен водонепроницаемыми перегородками на отсеки, чтобы при пробоинах вода не залила корабль полностью. Если в каком-то отсеке образуется пробоина, и он заполняется водой, то для уменьшения крена приходится сознательно заполнять водой отсеки с противоположного борта. Однако, были нередко случаи, когда капитан корабля отдавал приказ о затоплении не тех отсеков: судно переворачивалось и погибало.

Оригинальную меру предотвращения такого катастрофического исхода предложил выдающийся корабел и математик, академик А.Н. Крылов. Еще при проектировании судна можно рассчитать, как скажется на его крене затопление каких-то отсеков и какие отсеки с противоположной стороны необходимо затопить для выравнивания крена, а результаты таких расчетов свести в «таблицу непотопляемости». Теперь такими таблицами снабжаются суда всех флотов мира. Простая идея и модель живучести судна, но сколько жизней и материальных ценностей было, да и будет спасено.А, если такая таблица предотвращает катастрофу танкера с огромным количеством нефти, которая не выливается в море, то это уже будет свидетельствовать и о большой её экологической значимости.

«Математическая модель - приближенное описание какого - либо класса явлений внешнего мира, выраженное с по­мощью математической символики»

Уже из рассмотренного выше примера определения площади пола комнаты видно, что при построении математических моде­лей используют не материальные предметы, такие как дерево, пла­стмасса..., а идеализированные, математические объекты: фигу­ры, параметры, произведение, равно, формула и т.п.

Большую значимость, особенно гуманитарную и даже гума­нистическую имеют математические модели, позволяющие нахо­дить экономически эффективные и экологически чистые решения, способствующие сохранению не только материальных ценностей, но и жизней. Ярким примером тому служит «таблица непотопляе­мости», т.е. математическая модель живучести судна.

Известно, что корпус корабля разделен водонепроницаемыми перегородками на отсеки, чтобы при пробоинах вода не залила ко­рабль полностью. Если в каком-то отсеке образуется пробоина, и он заполняется водой, то для уменьшения крена приходится созна­тельно заполнять водой отсеки с противоположного борта. Одна­ко, были нередко случаи, когда капитан корабля отдавал приказ о затоплении не тех отсеков: судно переворачивалось и погибало.

Оригинальную меру предотвращения такого катастрофиче­ского исхода предложил выдающийся корабел и математик, ака­демик А.Н. Крылов. Еще при проектировании судна можно рас­считать, как скажется на его крене затопление каких-то отсеков и какие отсеки с противоположной стороны необходимо затопить для выравнивания крена, а результаты таких расчетов свести ^ «таблицу непотопляемости». Теперь такими таблицами снабжаются суда всех флотов мира.

Простая идея и модель живучести судна, но сколько жизней и материальных ценностей было, да и будет спасено.

А, если такая таблица предотвращает катастрофу танкера с огромным количеством нефти, которая не выливается в море, то это уже будет свидетельствовать и о большой её экологической значимости.

Теперь приведём пример прямой помощи, которую может оказать соответствующая математическая модель такой гумани­тарной науке как история. Так, древнегреческий историк Геродот рассказывал, что когда воевавшие между собой лидийцы и мидяне сошлись на поле боя, началось неполное солнечное затмение. Диск солнца начал сокращаться, сумерки опускались на землю. Это не­бесное явление повергло сражавшихся в суеверный ужас. Против­ники истолковали затмение как знамение богов, повелевавших прекратить войну, и они заключили мир.

Историкам не была известна точная дата этого события. Они относили его ко времени между 626 и 583 годами до н. э. Вместе с тем знание этой даты проливало свет на хронологию других важ­ных исторических событий. Эту задачу можно решить, используя математическую модель солнечной системы, позволяющую путем вычислений устанавливать ход светил как в будущем, так и в да­леком прошлом. По этой модели было определено, что описанное Геродотом сражение произошло 28 мая 585 года до н. э.

Кстати, координатная или числовая ось, с которой мы позна­комились ещё в школе, является в частности математической мо­делью хронологии исторических событий, причём её отрицатель­ная полуось отражает события, происшедшие до н.э., положитель­ная - моделирует события н.э., а начало координат соответствует Рождеству Христову.

Отметим также, что математическая модель, представляющая золотую пропорцию (деление отрезка в среднем и крайнем отно­шении) широко применяется в живописи и архитектуре при созда­нии целостной гармонической формы, наиболее полно выражаю­щей содержание произведения.

О большой гуманитарной значимости математических моде­лей свидетельствует и тот факт, что великий русский писатель Л.Н. Толстой на первых двух страницах третьей части третьего тома романа «Война и мир» приводит краткое, но выразительное описание приема, составляющего сущность анализа бесконечно малых (т. е. математического анализа, основы которого теперь из­лагаются в 10 - 11 классах средней школы при изучении дисцип­лины «Алгебра и начала анализа»), а затем эти соображения ис­пользуются им для более глубокого понимания законов «истори­ческого движения».

Укажем также на математическую характеристику ценности человека, предложенную JI. Н. Толстым. Она представляет собой такую математическую модель, как дробь, в числителе которой находятся достоинства человека, а в знаменателе - его мнение о себе. Чем больше действительных достоинств у человека, тем больше дробь, но чем больше его мнение о себе, тем дробь мень­ше. Конечно, эта математическая модель, как и любая другая, име­ет свои границы применимости, исключающие случаи, при кото­рых человек почти без достоинств, но без самомнения имел бы очень большую ценность.

Очень важной была роль математического моделирования в создании новой боевой техники в годы Великой Отечественной войны, но особенно впечатляющие результаты были получены нашими математиками в совершенствовании военной авиации.

Овладевая в эти годы большими скоростями, наши авиакон­структоры столкнулись с возникновением опасных вибраций (флаттер), которые вызывали мгновенное разрушение самолетов в воздухе. Кроме того, опасности подстерегали скоростные машины и на земле. При взлете или посадке самолета его колеса начинали вилять из стороны в сторону. Это явление названное шимми, не­редко вызывало катастрофы самолётов на аэродромах.

Построив математические модели указанных явлений, кол­лектив учёных, возглавляемый выдающимся математиком, тогда доктором физико - математических наук, позже академиком М. В. Келдышем, не только выявил причины флаттера и шимми, но и установил, как эти явления устранять. В результате наша авиация во время войны практически не имела разрушений само­летов по этой причине. Тем самым были спасены жизни многих лётчиков и боевые машины вооруженных сил.

А профессору Н. Г. Четаеву удалось создать адекватную ма­тематическую модель, позволившую определить наилучшую кру­тизну нарезки каналов стволов орудий, что обеспечивало непереворачиваемость снарядов при полёте, оптимальную кучность стрельбы и другие положительные характеристики артиллерий­ских систем.

Как отмечает Академик АН УССР Б.В. Гнеденко, интересная задача возникла у моряков в связи со стремлением увеличить ве­роятность попадания в цель за счёт искусственного рассеивания торпед при залпе. Полное решение этой задачи нашёл и довёл его до практического использования выдающийся математик, акаде­мик А.Н. Колмогоров.

Позже его выводы были использованы для наивыгоднейшего рассеивания артиллерийских снарядов, что помогло повысить мет­кость стрельбы и тем самым увеличить эффективность действия артиллерии, которую заслуженно называли богом войны.

О работе отечественных математиков в помощь фронту по организации производственных процессов, направленных на по­вышение производительности труда и улучшение качества воен­ной продукции будет рассказано при обсуждении стохастических моделей.

Из книги по мат. Моделированию:

Математическое моделирование окружающей среды

При изучении любого явления вначале получают качественное описание проблемы. На этапе моделирования качественное представление переходит в количественное. На этом этапе определяют функциональные зависимости между переменными для каждого варианта решения и входных данных выходные данные системы. Построение моделей – процедура неформальная и очень сильно зависит от опыта исследователя, всегда опирается на определённый опытный материал. Модель должна правильно отражать явления, однако этого мало – она должна быть удобной для использования. Поэтому степень детализации модели, форма её представления зависят от исследования.

Изучение и формализация опытного материала – не единственный способ построения математической модели. Важную роль играет получение моделей, описывающих частные явления, из моделей более общих. Сегодня математическое моделирование применяют в различных областях знаний, выработано немало принципов и подходов, носящих достаточно общий характер.

Основная задача научного анализа – выделить реальные движения из множества мысленно допустимых, сформулировать принципы их отбора. Здесь термин “движение” употребляется в широком смысле – изменения вообще, всякое взаимодействие материальных объектов. В различных областях знаний принципы отбора движений разные. Принято различать три уровня организации материи: неживая, живая и мыслящая. На самом нижнем уровне – неживой материи – основными принципами отбора являются законы сохранения вещества, импульса, энергии и т.п. Любое моделирование начинается с выбора основных (фазовых) переменных, с помощью которых записывают законы сохранения.

Законы сохранения не выделяют единственного решения и не исчерпывают всех принципов отбора. Очень важны различные условия (ограничения): граничные, начальные и др.

На уровне живой материи все принципы отбора движений, справедливые для неживой материи, сохраняют свою силу. Поэтому и здесь процесс моделирования начинается с записи законов сохранения. Однако основные переменные оказываются уже иными.

Преимущества математических моделей состоят в том, что они точны и абстрактны, передают информацию логически однозначным образом. Модели точны, поскольку позволяют осуществлять предсказания, которые можно сравнить с реальными данными, поставив эксперимент или проведя необходимые наблюдения.

Модели абстрактны, так как символическая логика математики извлекает те и только те элементы, которые важны для дедуктивной логики рассуждения, исключая все посторонние значения.

Недостатки математических моделей заключаются часто в сложности математического аппарата. Возникают трудности перевода результатов с языка математики на язык реальной жизни. Пожалуй, самый большой недостаток математической модели связан с тем искажением, которое можно привнести в саму проблему, упорно отстаивая конкретную модель, даже если в действительности она не соответствует фактам, а также с теми трудностями, которые возникают иногда при необходимости отказаться от модели, оказавшейся неперспективной. Математическое моделирование настолько увлекательное занятие, что “модельеру” очень легко отойти от реальности и увлечься применением математических языков к абстрактным явлениям. Именно поэтому следует помнить, что моделирование в прикладной математике – это лишь один из этапов широкой стратегии исследования.

Моделирование водных экосистем:

Научно-технический прогресс, развитие сельского хозяйства, урбанизация привели к загрязнению природных вод. Проблема загрязнения вод приобрела глобальный характер. В настоящее время выделяют химическое, физическое, биологическое, тепловое, радиоактивное типы загрязнений.

Загрязняющие вещества, в зависимости от типа источника загрязнения, разными путями попадают в водную среду. Они могут поступать из атмосферы; могут быть смыты склоновым стоком с сельскохозяйственных полей и угодий в подземные и речные воды; загрязнение также может быть бактериальным в результате развития и отмирания водной растительности. Поступление загрязняющих веществ в водоём может происходить непрерывно (по времени) или в результате массового сброса, в виде точечных или распределённых в пространстве источников.

При имитационном моделировании качества воды необходимо совместное описание гидрофизических и химико-биологических процессов. Задача моделирования заключается в том, чтобы научиться предвидеть, возможно, более отдалённые последствия вмешательства человека в установившийся в природе круговорот веществ и уметь нейтрализовать нежелательные результаты.

Под экосистемой понимают единый природно-антропогенный комплекс, образованный живыми организмами и средой их обитания, в котором экологические компоненты связаны между собой причинно-следственными связями, обменом веществ и распределением потока энергии. Водная экосистема является элементом системы более высокого порядка – биосферы. Водоём – открытая система, связанная с окружающей средой входными и выходными данными.

Остановимся на описании водных потоков и в качестве примера Упрощённое уравнение для расчёта температурного режима реки. Температурный режим водных потоков описывается уравнением теплопроводности Фурье –Кирхгофа:

Математическое моделирование глобального развития:

В настоящее время проблема “Человек и среда его обитания” широко обсуждается во всём мире. Рост населения, истощение природных ресурсов, отрицательные воздействия человека на окружающую среду, нехватка продуктов питания в некоторых развивающихся странах – вот основные аспекты этой проблемы. В условиях научно-технической революции воздействие человека на окружающую его среду приобрело масштабы, которые можно сравнить с природными процессами. Возникла реальная угроза необратимых отрицательных последствий. Современные социально-экономические процессы взаимодействия человека и окружающей среды настолько сложны и масштабны, что нельзя пассивно надеяться на их стихийную адаптацию в желательном направлении. Возникает задача – изучить действие всех в совокупности факторов, обуславливающих развитие человечества, найти пути сознательного управления этим развитием.

В этих условиях важным инструментом анализа управления развитием сложных систем становятся методы математического моделирования. Методологической базой комплексного исследования наиболее важных сторон развития человеческого общества является системный анализ. Системный анализ – это прикладная дисциплина, занимающаяся решением конкретных проблем, возникающих в процессе проектирования и анализа сложных технических, биологических, экономических и прочих систем.

Дата добавления: 2015-04-24