Опишите схему решения задачи методом математического моделирования

Рассмотрим данный вопрос на примере следующей задачи:

Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

Этап I: Сведения решения текстовой задачи к математической задаче решения уравнения

Пусть км/ч – скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению км/ч, а против течения км/ч. По течению реки лодка прошла 25 км за ч, а против течения 3 км за ч. Значит, время, затраченное на весь путь, выраженное через неизвестное , будет ч, но по условию на весь путь затрачено 2 ч.

Следовательно, . (1)

Уравнение (1.1) ‑ математическая модель задачи, возможно и неполная, но отражающая самую существенную связь условий задачи.

Конечно, в дальнейшем может возникнуть необходимость дополнить модель неучтёнными ограничениями.

Подчеркнём, что в уравнении (1.1) – безразмерная, неименованная величина. В математической модели мы отвлекаемся от физического смысла рассматриваемых величин: для нас важны числа, которыми эти величины выражаются.

Этап II: Решение математической задачи

На втором этапе решаем математическую задачу, т.е. уравнение (1) и получаем два корня: .

Этап III: Анализ полученного решения

На третьем этапе, имея уже решение математической задачи, необходимо это решение проанализировать, разобраться в его содержательном смысле и сделать правильные выводы.

При этом следует иметь в виду, что уравнение (1) есть следствие исходной задачи и потому может содержать посторонние решения.

Действительно, удовлетворяет уравнению (1), но не удовлетворяет условию задачи, так как скорость лодки 2 км/ч не может быть меньше скорости течения реки 3 км/ч. Итак, ответ, записанный в терминах исходной задачи: скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Теперь очевидно, что при построении математической модели мы не учли ограничение по условию задачи на скорость лодки в стоячей воде:

. (2)

Таким образом, равнение (1) имеет единственное решение.

Полностью формализованной математической моделью рассматриваемой задачи является смешанная система, состоящая из уравнения (1) и неравенства (12). Именно эта система является математической записью физических условий, однозначно определяющих скорость лодки в стоячей воде.

При решении прикладных задач очень важным является третий этап, заключающийся в обратном переводе результата исследования модели с языка математики на язык прикладной задачи, этап интерпретации (истолкования) результата исследования математической модели, этап, на котором нужно разобраться в решении математической задачи, в реальном смысле этого решения и сделать правильные выводы.

СЛЕДОВАТЕЛЬНО:

Приведём общую схему применения математики к изучению реальных объектов и решению прикладных задач:

Реальный объект, прикладная задача

Содержательная модель, текстовая задача

Математическая модель

Решение математической задачи

Интерпретация решения в терминах реальной задачи или содержательной модели

Дата добавления: 2015-04-24