Теорема 5.2 Если множество A ограничено снизу, то существует точная нижняя грань этого множества

Теорема 5.1. Если множество A ограничено сверху, то существует точная верхняя грань этого множества.

Доказательство. Выберем множество B таким, что (т.е. B – это множество всех верхних граней А). Докажем, что множество В имеет наименьший элемент. По аксиоме отделимости (см. билет 4) существует такое , что . Так как для всех имеем , число c является верхней гранью А. Так как для всех , число c – наименьшее среди элементов множества B. Таким образом, , что и требовалось доказать.

Определение 5.3. Если множество A ограничено снизу, то наибольшая из его нижних граней называется точной нижней гранью А и обозначается inf A.

Доказательство. Доказательство можно провести двумя способами.

1 способ. По аналогии с теоремой 5.1. рассмотреть множество D нижних граней множества A. Применить аксиому отделимости к D и А. По аксиоме отделимости (см. билет 4) существует такое , что для всех , для всех имеет место неравенство . Так как для всех выполняется неравенство , d является нижней гранью А. Так как для всех имеем , d – наибольшая среди нижних граней множества А, т.е. .

2 способ. Определим множество -A так: . Если A ограничено снизу, то -A ограничено сверху, поэтому , кроме того, .

Дата добавления: 2015-04-24