Теорема 6.1.Если A - бесконечное ограниченное множество, то существует предельная точка множества A

(Примечание к формулировке теоремы: множество A ограниченное -это означает, что ; бесконечное –т.е. содержит бесконечно много точек.)

Доказательство. Рассмотрим отрезок . Разделим его на 2 части. Хотя бы в одну из половин отрезка входит бесконечное множество точек A. Возьмем полученный отрезок и тоже разделим его на 2 части. Хотя бы один из полученных отрезков тоже содержит бесконечное множество точек из A. Продолжим процесс деления отрезков. В итоге имеем систему стягивающихся отрезков. По теоремам (5.3, 5.4) эта система имеет единую для всех отрезков точку с. Утверждаем, что точка c - предельная точка множества A. Выберем произвольную окрестность и в ней окрестность . После этого возьмем n такое, чтобы длина отрезка , равная , оказалась меньше , т.е. .

Так как, очевидно, (см. рис. 5), и так как содержит, по построению, бесконечное множество точек из A, проколотая окрестность , также содержит бесконечное множество точек из А. Итак, доказано, что произвольная окрестность содержит точки из А. Следовательно, с – предельная точка множества А.

В дополнение сформулируем и докажем еще одно важное свойство предельных точек.

Дата добавления: 2015-04-24