Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема 6.2. Если a – предельная точка А, то в любой проколотой окрестности точки а, содержится бесконечное множество точек из А




Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность и в ней также произвольную . Обозначаем . В существует точка , по определению предельной точки. Пусть . В существует точка . Точка не может совпасть с , т.к. . Далее полагаем . В существует точка , причем , т.к. и т.д.

В итоге получаем бесконечное множество точек из А, входящих в , что и утверждалось.

Следствие. Конечное множество не имеет предельных точек.

Вопрос 7. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Результаты измерений и расчётов редко бывают совершенно точными. Сама математическая модель, описывающая изучаемое явление, в определённой степени идеализирована, она изображает процесс лишь с некоторой точностью. Параметры процесса так же, как правило, вычислены лишь приблизительно; в частности, источниками ошибок могут быть ошибки измерительных приборов. Наконец, сами вычисления содержат округления и т.п. Поэтому часто приходится использовать в вычислениях не само действительное число, а лишь некоторое его приближённое значение.

Обычно приближённым значением действительного числа называется число, незначительно отличающееся от числа и заменяющее это число в вычислениях. Но для того, чтобы сделать результаты приближённых вычислений надёжными, следует уточнить понятие приближённого значения и соблюдать правила приближённых вычислений.

Поэтому этот и следующие разделы первого параграфа будут посвящены правилам приближённых вычислений, часто используемым на практике.

Определение 7.1. Под ошибкой или погрешностью приближённого числа обычно понимают разность между соответствующим точным числом и числом , т.е. . Погрешность может быть положительной, в таком случае приближение называется приближением по избытку. Если погрешность отрицательная, то приближение называется приближением по недостатку. Удобно рассматривать абсолютную погрешность приближённого числа , равную абсолютной величине погрешности , т.е. .

Часто бывает так, что точное значение числа нам неизвестно. В этом случае абсолютная погрешность нам также неизвестна, и следует попытаться найти оценку сверху для этой погрешности, т.е. такое число , про которое известно, что оно не меньше, чем . Тогда неравенство означает, что , или, что то же самое, что . Таким образом, число будет являться приближением для числа по недостатку, а число будет являться приближением для числа по избытку. Неравенства часто кратко записывают так: . Они означают, что число находится на интервале длины с центром в точке .

Разумеется, если , то из приближённого равенства следует менее точное приближённое равенство .

Число , т.е. точность приближения, выбирается, в основном, исходя из потребностей решаемой задачи. Это означает, что одно и то же число может быть приближено с различной точностью (примеры будут даны ниже). Таким образом, часто вместо точного значения действительного числа мы рассматриваем совокупность его различных приближённых значений с различными заданными точностями.

Определение 7.2. Ещё одна важная характеристика качества приближения – относительная погрешность приближённого числа . По определению, эта величина равна .

В тех случаях, когда точное значение числа нам неизвестно, невозможно дать и точное значение числа . Тогда, как и выше, следует получить оценку сверху для относительной погрешности, исходя из оценки сверху для абсолютной погрешности. Например, при условиях справедлива такая оценка:

.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 787; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.