Теорема 5.4. Общая точка стягивающейся системы отрезков единственна

Стягивающиеся отрезки

Определение 5.4. Система отрезков называется вложенной, если .

Теорема 5.3 Любая вложенная система отрезков имеет хотя бы одну общую для всех отрезков точку, т.е. : .Иными словами, : или Ø.

Доказательство. Выберем множества A и B так, что

, . Для того чтобы применить аксиому отделимости, необходимо доказать, что выполняются неравенства .

Выберем m так, что . Тогда , . Значит, : , полагая , получим: . Таким образом, c - общая для всех отрезков точка. Теорема доказана.

Определение 5.5. Система отрезков называется стягивающейся системой отрезков, если длины этих отрезков стремятся к 0 при , т.е. .

Доказательство. Допустим, что есть 2 общие точки . Тогда . Возьмем . Найдется такое , что для любого .

Одновременно получаем, что

, откуда . Но . Тем самым, мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Замечания:

· точка c является точной верхней гранью множества левых отрезков и точной нижней гранью множества правых концов этих отрезков.

· вложенная система интервалов может не иметь общую точку, как показывает

Пример: Рассмотрим У этих интервалов нет общей точки – докажем это от противного. Если бы общая точка была, то она принадлежала бы первому интервалу, т.е. , . Выберем число так, чтобы , т.е. . Тогда вопреки предположению.

Дата добавления: 2015-04-24