М. Н. Полякова, А. М. Вербенец 4 страница

Современное состояние теории и методики развития матема­тических представлений у детей дошкольного возраста сложилось под влиянием следующих взглядов

Авторы теории классической системы сенсорного воспитания;

Ф Фребель, М. Монтессори _и др.

Создание среды, благоприятной для развития.

Внимание к интеллектуальному развитию ребенка.

Создание систем наглядных ма­териалов.

Разработка приемов развития у детей количественных, геомет­рических и других представле­ний

Педагоги –методисты

Е. И.Тихоева, Л.В Глаголева Ф.Н. Блехер и _4р

Создание обстановки для ус­пешного развития и воспитания детей.

Разработка игровых методов обучения и подходов к их реали­зации.

Конструирование содержания обучения в детском саду и под­готовительных классах (в виде уроков).

Психологи 80-90-х _Гт. XX в.

П.Я^. Гальперин В.В., Давыдов Н. И. Непомнящая'_и д_р.

Выяснение возможностей ин­тенсификации и оптимизации обучения детей.

Освоение начальных математи­ческих представлений через предметные действия уравнива­ния и измерения. Наглядное моделирование в процессе решения арифмети­ческих задач.

Обогащение содержания обуче­ния и развития (связи и зависи­мости, логические операции и т.д.).

Ученый-исследователь

А. М. Леушина (исследования 1956 г.)

Теоретическое обоснование до-числового периода обучения детей и периода развития число­вых представлений.

Методика развития количест­венных и числовых представле­ний у детей.

Обучение на занятиях — основ­ной путь освоения содержания. Деление материалов на демон­страционные и раздаточные.

Целенаправленное формирова­ние элементарных математиче­ских представлений у детей

Авторы концепции дошкольного воспитания: В. В. Давыдов, В. А. Петровский и др.

-Реализация идей личностно-ориентированного подхода к развитию и воспитанию детей

-Организация совместной с ре­бенком деятельности развива­ющей направленности, само­стоятельной и организованной в специально созданной пред­метно-игровой среде.

-Активизация детской деятель­ности: использование проблем­ных ситуаций, элементов РТВ (развитие творческого вообра­жения), моделирования и дру­гих путей развития мыслитель­ной деятельности детей

Концепция содержания непрерывного образования (дошкольное и начальное звено, 2000

-Содержание математических представлений отнесено к по­знавательно-речевому направ­лению в развитии ребенка-до­школьника.

Недопустимость изучения в дет­ском саду элементов программы первого класса и «формирова­ния у детей узкопредметных знаний и умений».

-Основы математического разви­тия состоят в обучении умению выделять признаки, сравнивать и упорядочивать, сосчитывать и присчитывать, ориентироваться в пространстве и во времени.

Резюме по первой главе

История развития учебной дисциплины «Теории и технологии

математического развития детей дошкольного возраста» прошла

несколько этапов развития.

Для эмпирического этапа характерно появление идей о необ­ходимости целенаправленного развития математических представлений у детей до обучения их в школе и реализация отдельных идей на практике.

W Практический этап становления учебной дисциплины: струк-
турирование учебного содержания, создание программ обуче-
ния дошкольников математике, разработка методов и приемов
развития математических представлений, требований к усло-
виям успешного освоения содержания.,

¹*° Этап научного обоснования разных аспектов теории и методи­ки: отбор содержания на основе экспериментов, осуществлен­ный психологами (В. В. Давыдов, П. Я. Гальперин и др.) и пе­дагогами (А. М. Леушина и др.); обоснование методов и при­емов обучения и развития детей.

щ° Ведущим методом развития математических представлений у детей в 20—50-е гг. прошлого столетия являлась игра.

Современный этап развития учебной дисциплины представ­лен разнообразием актуальных подходов к математическому развитию дошкольников и отличается гуманистической на­правленностью развития и воспитания детей. В настоящее время имеет место тенденция к расширению содержания предматематической подготовки детей за счет включения ло­гического, экологического и других компонентов. ^ Некоторые из современных психолого-педагогических основ теории и методики математического развития детей (положе­ния, взгляды, системы) являются ретроинновациями по отно­шению к воззрениям (научным и практическим) 20—70-х гг. прошлого столетия.

Литература

1. Давыдов В. В. Последние выступления. — М.: ПЦ «Экспери­мент», 1998. Главы «Деятельность ребенка должна быть желанной и радостной», «Учебная деятельность и развивающее обучение».

2. Кавтарадзе Д. Н. Обучение и игра. Введение в активные ме­тоды обучения. — М.: Флинта, 1998.

3. Смолякова О. К., Смолякова Н. В. Математика для дошколь­ников. В помощь родителям при подготовке детей 3—6 лет к школе.— М.: Издат-школа, 2002. (Вступление.)

4. Тамберг Ю. Г. Как научить ребенка думать: Учебное пособие для родителей, воспитателей, учителей. — СПб.: Михаил Сизов, 1999.

5. Теории и технологии математического развития детей до­школьного возраста. Хрестоматия / Сост.: 3. А. Михайлова, Р. Л. Непомнящая, М. Н. Полякова. — М.: Центр педагогического образования, 2008.

Вопросы и задания для самоконтроля

© Сформулируйте обоснование к высказыванию мудреца: «На­стоящее в прошлом, будущее — в настоящем».

© На основе экспериментального исследования книга под ред. Н. И. Чуприковой «Познавательная активность в системе про­цессов памяти» (М., 1989) авторы высказываются в защиту «лучшего сохранения в долговременной памяти результатов

непроизвольного запоминания, основанного на активной мыслительной деятельности, по сравнению с „чистым" про­извольным, а также с совмещенным и смешанным запомина­нием». Выберите из текста первой главы положения, под­тверждающие или опровергающие эту мысль. Объясните смысл высказывания русского писателя и педагога Л. Н. Толстого: «Чем легче учителю учить, тем труднее ученику учиться». Как связана эта мысль с методикой математического развития детей?

Глава 2. Теоретические основы развития математических представлений у дошкольников

Теоретические основы развития математических представле­ний у дошкольников и учеников начальной школы получили сравнительно недавно (примерно 20 лет назад) специальное на­звание — «предматематика» (англ. premathematics).

Традиционно в качестве теоретических основ обучения при­нимали соответствующие математические теории в их завершен­ном виде. Однако дедуктивно построенная математическая тео­рия в ее абстрактном виде не может служить основой для до­школьного и начального школьного обучения математике.

Предматематику не следует принимать за «детскую математи­ку». На предматематическом уровне изучаются некоторые понятия и темы школьного курса математики в средних и старших классах школы. Этот уровень часто используется и в научно-популярной литературе. Что же касается развития математических представле­ний у дошкольников и обучения математике в начальных классах школы, то они полностью находятся на предматематическом уров­не, отражают соответствующую стадию развития математических знаний. Поэтому цели и результаты этого обучения правомерно на­зывать «предматематической» подготовкой дошкольников и млад­ших школьников, т. е. их подготовкой к изучению математики.

Основная цель теоретических основ развития математических представлений — математическое описание и уточнение смысла всего того, что практикуется на занятиях с дошкольниками, разъ­яснение тех понятий, о которых у детей формируют соответству­ющие представления. Этой цели и подчинено изложение теорети­ческих основ. Мы не будем строить здесь какие-нибудь строгие математические теории. Все изложение ведется на предматемати­ческом уровне. Для иллюстрации различных понятий, фактов или конструкций мы будем пользоваться примерами и играми, моде­лирующими эти понятия или конструкции, и соответствующим дидактическим материалом. Таким образом, теоретические осно­вы излагаются в непосредственной связи с элементарными мате­матическими представлениями, формируемыми у дошкольников в процессе их обучения в детском саду. Особенностью этого изло­жения является выявление логической структуры мышления, раз­виваемой одновременно с математическими представлениями. Это дает возможность педагогу повысить развивающий эффект при фор­мировании у школьников математических представлений.

Используемая при изложении теоретических основ специаль­ная логическая и математическая терминология и символика не предназначена, разумеется, для обучения дошкольников.

2.1. Множества

Характеристическое свойство множества

Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность некоторым предметам.

Например, свойством быть красным обладают некоторые цве­ты, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством быть круг­лым обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др.

Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что множество характеризуется данным свойством — или множество задано указанием характеристического свойства.

Под характеристическим свойством множества понимают та­кое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие это­му множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, не принадлежащий ему (не являющийся его элементом).

Иногда свойство отождествляется с множеством предметов, характеризуемым этим свойством. Говоря круглое, мы одновре­менно мыслим о множестве всех круглых предметов.

Если некоторое множество А задано указанием характеристи­ческого свойства Р, то это записывается следующим образом:

А={х\Р(х)}

и читается так: «А — множество всех х таких, что х обладает свой­ством Р», или, короче, «А — множество всехх, обладающих свой­ством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и только те предметы, которые обладают этим свойством.

Естественно, что некоторым свойством может обладать беско­нечное множество предметов, другим — лишь конечное множест­во. Поэтому множества подразделяются на конечные и бесконечные.

Конечное множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов в произвольном порядке. На­пример, множество детей данной группы, живущих на Садовой улице, может быть задано описанием с помощью характеристи­ческого свойства:

{х\х — живет на Садовой улице} или же перечислением всех его элементов в произвольном порядке:

{Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}.

Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов.

Математика в большей мере имеет дело с бесконечными мно­жествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоде­лированы на конечных множествах.

Естественно, что в предматематической подготовке обычно имеют дело с конечными множествами.

Элементами таких множеств могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (растения, животные, предметы обихода и т. д.), так и абстрактные (числа, геометриче­ские фигуры, отношения и т.д.), или изображения таких объек­тов. Чаще всего мы будем пользоваться множествами, элементами которых являются знакомые детям предметы или их изображения. При этом изображение птички так и будем называть птичкой, изображение дерева — деревом и т. п.

Универсальное множество. Дидактический материал

Обычно предметы, обладающие определенным свойством, выделяются из некоторого наперед заданного основного, или уни­версального, множества предметов (множества всех предметов, рассматриваемых в связи с данным свойством).

Например, множество детей, живущих на какой-либо улице, мы выделили из множества всех детей определенной (конкретной, известной нам) группы как ее часть (подмножество), характери­зуемую указанным свойством. В данном случае множество всех детей этой группы играет роль универсального множества (мно­жества всех детей). Если в качестве универсального множества принять множество всех детей данного детского сада (а не только одной группы), то множество детей, живущих на указанной улице, может оказаться иным.

Все вопросы, связанные с множествами (операции над мно­жествами, отношения между ними, разбиение множества на клас­сы и др.), решаются, как правило, внутри некоторого явно задан­ного или подразумеваемого универсального множества.

Удобно иллюстрировать понятия, связанные с множествами предметов, на одном универсальном множестве специального дидактического материала, который может быть эффективно ис­пользован в обучении дошкольников, — логические блоки'.

Эти блоки названы логическими, потому что они позволяют мо­делировать разнообразные логические структуры и решать логи­ческие задачи с помощью специально создаваемых конкретных си­туаций, т. е. могут быть использованы, как это будет показано даль­ше, для ранней логической пропедевтики детей 4—6 лет.

Комплект (универсальное множество) состоит из 48 деревян­ных или пластмассовых блоков. Каждый блок обладает четырьмя свойствами, т. е. является носителем четырех свойств, которыми он полностью определяется: формой, цветом, величиной и тол­щиной.

Имеются четыре формы: круг, квадрат, треугольник и прямо­угольник (под прямоугольником имеется в виду разносторонний прямоугольник; на этом предматематическом уровне дети не счи­тают квадрат

прямоугольником); три цвета: красный, синий,,жел­тый; две величины: большой и малый — и две толщины: толстый и тонкий. Это так называемый «пространственный вариант» ди­дактического материала.

Широкие возможности для применения в обучении до­школьников имеет и «плоский вариант» блоков, который для краткости назовем «фигуры». Такой комплект (универсальное множество) состоит из 24 фигур, изображенных на листе плот­ной бумаги. Каждая из этих фигур полностью определяется тремя свойствами: формой (круг, квадрат, треугольник, прямо­угольник); цветом: красный, синий, желтый (к, с, ж); величиной: большой, маленький (б, м). Толщиной фигуры не различаются (она у всех одна и та же). Таким образом, имя каждой фигуры состоит из тройки букв-названий (формы, цвета, величины) и может быть символически записано так: □ жб — квадратная желтая большая фигура (в дальнейшем можно назвать короче — желтый большой квадрат); СИ см — прямоугольная синяя малая фигура (или синий малый прямоугольник) и т. п.

Прежде чем пользоваться блоками (или фигурами) для прове­дения различных игр и решения разного рода задач, необходимо научиться распознавать каждый элемент универсального множе­ства, состоящего из блоков (или фигур), т. е. уметь называть его полное имя.

Подмножество. Дополнение множества и отрицание предложения

Рассмотрим теперь некоторое свойство, которым могут обла­дать или не обладать элементы нашего универсального множества.

Свойство быть красным выделяет из универсального множест­ва подмножество красных блоков или фигур. Свойство быть круг­лым выделяет из этого множества другое подмножество — круглых блоков (или фигур).

Термин подмножество применяется в математике в смысле часть множества. При этом, однако, не исключаются два крайних случая: когда часть множества (подмножество) совпадает со всем множеством, т. е. все элементы множества обладают рассматрива­емым свойством, и когда эта часть не содержит ни одного элемен­та, например ни один блок не обладает свойством быть зеленым. В последнем случае эту часть называют пустым множеством и обозначают символом 0.

Эти крайние случаи тоже можно смоделировать конкретны­ми ситуациями, создаваемыми с помощью блоков (или фигур).

Если, например, рассматривая только красные блоки (теперь множество красных блоков является универсальным), мы пред­лагаем выделить из них те, которые являются красными, то вы­деленное подмножество совпадает со всем рассматриваемым множеством. Если же предлагается из этих блоков отделить (переложить в другой ящик) все те, которые являются синими, то этот ящик останется пустым, т. е. фактически в множестве красных блоков будет выделено «пустое множество» блоков.

Пусть множество М — некоторое универсальное множество, множество А — некоторое подмножество множества М. Симво­лически это обозначается «АсМ». Говорят также, что множество А включается в М. Это означает, что все элементы множества А являются также элементами множества М. Выделение подмно­жества с помощью некоторого свойства может быть смоделиро­вано с помощью игры с одним обручем. Опишем эту игру.

На полу (или на столе) располагают обруч (такой, который используется в художественной гимнастике, или поменьше). У каждого ребенка в руке — один блок. Дети по очереди распо­лагают блоки в соответствии с заданием воспитателя, например внутри обруча — все красные, а вне обруча — все остальные (илл. 4).

Илл. 4

Эта задача, как правило, не вызывает затруднений у детей, уже различающих блоки по цвету и понимающих, что значит внутри и вне обруча. После решения задачи предлагаются два вопроса: «Какие блоки лежат внутри обруча?» и «Какие блоки лежат вне обруча?» Первый вопрос несложен для детей, так как ответ содер­жится в условии уже решенной задачи. Второй вопрос на первых порах вызывает затруднения, так как в условии задачи говорится «все остальные», здесь же спрашивается «Какие?» Ответ, который мы хотим получить («Вне обруча лежат все не красные блоки»), появляется не сразу. Такой ответ, как «Вне обруча лежат все жел­тые и все синие блоки», по существу правильный. Но мы хотим выразить свойство блоков, оказавшихся вне обруча, как отрица­ние свойства тех, которые лежат внутри. Можно предложить детям назвать свойство всех блоков, лежащих вне обруча, с помощью одного слова, используя при этом слово «красные». Некоторые дети догадываются, и в дальнейшем, при проведении этой игры в различных вариантах, эти трудности уже не возникают.

В ходе этой игры отрабатывается переход от выражения неко­торого свойства к выражению отрицания этого свойства:

внутри обруча вне обруча

красные не красные

квадратные не квадратные

большие не большие {малые)

толстые не толстые {тонкие)

не круглые круглые

не желтые желтые

и т. п.

Какова же цель применения таких дидактических игр? В даль­нейшем будет показано, что такого рода дидактические материа­лы предшествуют формированию одного из важнейших общеоб­разовательных умений — умения классифицировать объекты.

Отвлечемся теперь от описанной конкретной игры и рассмот­рим илл. 4 как изображение некоторого множества М (с помощью множества точек внутри прямоугольника) и некоторого подмно­жества А (с помощью множества точек круга), выделенного из М некоторым свойством Р. Оставшиеся элементы М, т. е. те, кото­рые не принадлежат А, не обладают свойством Р. Множество всех этих элементов (тоже подмножество М) называется дополнением множества А (до универсального множества М) и обозначается через 7L {А с чертой). Если множество А характеризуется свойством

Р, то его дополнение А характеризуется свойством не Р (если эле­менты А красные, то элементы А не красные).

Таким образом, множество А представляет собой множество всех х из М, не обладающих свойством Р. Образование дополне­ния А приводит к образованию отрицания предложения, выража­ющего характеристическое свойство множества А.

Отрицание некоторого предложения Р конструируется на рус­ском языке с помощью слов неверно, что, поставленных перед от­рицаемым предложением, или, если Р — простое предложение, использованием частицы не перед сказуемым.

Пересечение множеств и конъюнкция предложений

Опишем игру с двумя обручами.

Размещают на плоскости два разноцветных обруча (допустим, красный и черный) так, чтобы они пересеклись (имели общую часть), и предлагают детям расположить блоки так, чтобы внутри красного обруча оказались, например, все красные блоки, а внут­ри черного — все круглые (илл. 5).

, все красные блоки, а внут­ри черного — все круглые (илл. 5).

Вначале некоторые дети допускают ошибки. Начиная запол­нять красный обруч красными блоками, они могут расположить все эти блоки, в том числе и круглые красные, вне черного обруча. Затем все остальные круглые блоки располагают внутри черного, но вне красного обруча. В результате общая часть двух обручей может оказаться пустой.

Некоторые дети после постановки вопроса «Все круглые блоки внутри черного обруча?» замечают допущенную ошибку и перекладывают круглые красные блоки в общую часть двух обру­чей, объясняя, почему они должны лежать именно там (внутри красного обруча — потому что красные, внутри черного — потому что круглые).

После выполнения практической задачи по расположению блоков дети отвечают на четыре стандартных для всех вариантов игры с двумя обручами вопроса. Какие блоки лежат: 1) внутри обоих обручей; 2) внутри красного, но вне черного обруча; 3) внут­ри черного, но вне красного обруча; 4) вне обоих обручей. Следует подчеркнуть, что блоки надо называть здесь с помощью двух свойств — формы и цвета.

Отвлечемся теперь от описанной игры и рассмотрим ситуа­цию, изображенную на илл. 5, в общем виде¹.

Общая часть множеств Д и В (илл. 5, область (1)) представляет собой подмножество всех элементов из М, принадлежащих как А, так и В, т. е. обладающих обоими свойствами Ри Q. Это множество называется пересечением множеств А и В и обозначается через АглВ.

Итак, пересечением Аг\В двух множеств А и В называется мно­жество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В, т. е. их общая часть.

Если характеристические свойства множеств А и В выражают­ся с помощью предложений Р и Q соответственно, то характерис­тическое свойство пересечения АслВ выражается предложением «Ри Q», составленным из предложений PnQc помощью союза и. Это предложение называется конъюнкцией предложений Р и Q (от лат. conjunctio — союз, связь).

¹ Изображение множеств с помощью кругов было предложено выдающимся математи­ком Леонардом Эйлером (1707—1783). Поэтому такие круговые диаграммы называют круга­ми Эйлера, иногда диаграммами Эйлера—Венна.

Зависимость истинностного значения конъюнкции от истин­ностных значений составляющих предложений определяется обычным смыслом союза и: конъюнкция «Р и Q» истинна тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих ее предложения Р и Q. Это можно записать в виде следующей истинностной табли­цы, дающей истинностные значения конъюнкции при любых воз­можных комбинациях истинностных значений составляющих (см. табл. 1).

Таблица 1. Истинностные значения конъюнкции
	Р	Q	PhQ
И	и	И
	и	д	Л
гт	И	л
	л
л	Л	л

В логике конъюнкция обозначается знаком «л», т. е. вместо «Р и О» пишут «PaQ».

Объединение множеств и дизъюнкция предложений

Обратимся еще раз к игре с двумя обручами, изображенной на илл. 5. Поставим еще один вопрос: «Какое множество блоков ока­залось внутри хотя бы одного из двух обручей: красного или чер­ного?» Этот вопрос сложный, так как характеристическое свойст­во этого множества требует применения союза или в нераздели­тельном (соединительном) смысле, что вызывает затруднения не только у дошкольников.

Правильный ответ на поставленный вопрос может быть сфор­мулирован следующим образом. Внутри хотя бы одного из двух обручей находится множество блоков, каждый из которых крас­ный или круглый. Это множество состоит из всех красных не круг­лых, красных круглых и не красных круглых блоков (изображен­ных соответственно областями (2), (1), (3) в диаграмме (илл. 5).

В общем виде можно сформулировать так. Если множество А характеризуется свойством Р, множество В — свойством Q, то множество, состоящее из всех предметов, являющихся элемента­ми хотя бы одного из этих двух множеств, характеризуется свой­ством Р или Q.

Это множество называется объединением множеств А и В и обозначается «ЛиВ».

Итак, объединением ЛоВ двух множеств А и В называется мно­жество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Союз или понимается здесь в неразделительном смысле, т. е. каждый элемент объединения A\jB должен принадлежать хотя бы одному из множества А, В, т. е. или А, или В, или обоим множест­вам An В.

Таким образом, если характеристические свойства множеств А и В выражаются с помощью предложений Р и Q соответственно, то характеристическое свойство объединения АиВ выражается пред­ложением «Р или Q», составленным из предложений Р и Q с помо­щью союза или, понимаемого в неразделительном смысле. Это предложение называется дизъюнкцией предложений Ри Q (от лат. disjunctio — разобщение, различие).

В обыденной речи союз или применяется в двух различных смыслах: неразделительном (соединительном), когда составное предложение, образованное с помощью этого слова, считается ис­тинным в случае, если истинно хотя бы одно из составляющих предложений; в разделительном, когда составное предложение считается истинным в случае, если истинно только одно из со­ставляющих предложений, в этом случае иногда говорят или.., или, либо.., либо.

Разбиение множества на классы

Разбиение множества на классы лежит в основе классифици­рующей деятельности.

Обратимся еще раз к диаграмме, изображенной на илл. 4. Здесь мы имеем множество М и два его подмножества Ai~A, удов­летворяющие следующим условиям:

1) каждое из множеств А и ~А непустое, т. е. Аф0 и ~Аф<2>;

2) они не пересекаются, т. е. АпА=0;

3) их объединение образует множество М, т. е. A\JA = М. Условия (1)—(3) определяют разбиение множества М на два

класса (А и Л).

Рассмотрим теперь диаграмму на илл. 5.

Здесь мы имеем множество М и четыре подмножества: АглВ, АпВ, ~Ас\В, ЪглВ. Обозначим их соответственно через К\, К2, A3, А4.

Нетрудно заметить, что выполняются условия, аналогичные предыдущим:

1) каждое из множеств К\, Ki, A3, К4 непусто, т. е. А,*0, где/=1, 2, 3,4;

2) эти множества попарно не пересекаются, т. е. Kf\Kj=<Z, где Щ и i,j = 1, 2, 3, 4;

3) их объединение образует множество М, т. е. AiuA₂uA₃uA₄ = М.

Объединение 'ЩыК^ШрвЩ состоит из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих мно­жеств К\, Ki, A3, А4.

В этом случае условия (1)—(3) определяют разбиение множест­ва М на четыре класса.

Рассмотрим теперь игру с тремя обручами.

Пусть три разноцветных (например, красный, черный и синий) обруча расположены так, как показано на илл. 6.

Илл. 6

После того как образовавшиеся области (1)—(8) соответству­ющим образом названы (внутри всех трех обручей, внутри красного и черного, но вне синего и т. д.), решается более сложная, чем в игре с двумя обручами, задача классификации блоков (или фигур) по трем свойствам. Предлагается расположить блоки, например, так, чтобы внутри красного обруча оказались все красные блоки, внутри черного — все квадратные, а внутри синего — все большие. После выполнения задачи расположения блоков ставятся восемь стан­дартных для любого варианта игры с тремя обручами вопросов. Какие блоки лежат: 1) внутри всех трех обручей; 2) внутри красного и черного, но вне синего обруча; 3) внутри черного и синего, но вне красного обруча; 4) внутри красного и синего, но вне черного обру­ча; 5) внутри красного, но вне черного и вне синего обруча; 6) внут­ри черного, но вне синего и вне красного обруча; 7) внутри синего, но вне красного и вне черного обруча; 8) вне всех трех обручей?

Как видно на илл. 6, в игре с тремя обручами моделируется разбиение множества на восемь классов:

Ш{ т АпВпС; К₂ = АпВиС; К_ъ = ИглВслС; К₄ = АглВпС; К₅ = АпВпГ; К₆ = InBnC; К₇ = InBnC; K_s = InBnC.

И здесь также выполняются условия (1)—(3).

Теперь можно ответить в самом общем виде на вопрос: что такое разбиение множества на классы?

Система множеств К\, К₂,... К„ называется разбиением множе­ства М на классы, а сами эти множества — классами разбиения, если выполняются следующие условия:

Дата добавления: 2015-04-24