Элементы моделирования

Лекция 2.

Процесс моделирования связан с рядом процедур, например,
таких как выбор целевой функции (функции отклика), переменных, параметров и т.д. Рассмотрим основные из них:

Выбор переменных. Различают переменные состояния, скорости
(роста), факторов и др. Они в свою очередь подразделяются на вспомогательные и управляющие.

Переменные состояния определяют или помогают определить со-
стояние системы в любой заданный момент времени (фазовые переменные). Типичным примером может служить объем выбросов и их
содержание. Переменные должны поддаваться измерению и представлять интерес для исследователя. Так, если система задана с помо-
щью n переменных состояния Х ₁, Х ₂ ,..., Х _n, то они определяют един-
ственным способом состояние системы в момент времени t. Проблема детерминированного моделирования состоит в построении дифференциальных уравнений, с помощью которых можно было бы прогнозировать значения всех переменных состояния системы в любой
наперед заданный момент времени.

Переменные скорости (роста) — это характеристика, задающая
процесс, который протекает в системе, в заданный момент времени.
Эти процессы можно квалифицировать либо как преобразование,
либо как перемещения.

Вспомогательные переменные способствуют более глубокому пониманию объекта и в отдельных случаях упрощают сопоставление результатов
наблюдения, например темп роста выбросов в атмосферу

где П — объем выбросов;

dП — приращение объема выбросов за время dt.

Управляющие переменные — это не зависящие от времени количественные показатели и коэффициенты, включаемые в математические модели.

Под константой понимают численную величину, имеющую надежно и точно вычисленное значение, которое остается неизменным при варьировании условий эксперимента, а также в тех случаях, когда модель используется для проверки различных гипотез
или для описания компонент системы.

Термин «параметр» обычно относится к характеристикам, численные значения которых отличаются меньшей определенностью, чем
у констант, но, тем не менее, остаются неизменными на протяжении
исследования модели. Значения параметров подвержены влиянию
условий эксперимента, и они могут иметь приближенное значение.

Для обозначения параметров и констант введем символ Р, а
величины, относящиеся к параметрам, будем записывать с индек-
сом с, например, S_c — постоянные затраты (с - от const).

Для обозначения переменных введем символы Х, Y, Z и т.д.
Величины, относящиеся к переменным, будем записывать с индек-
сом v, например, S _v — переменные затраты и т.д. (здесь индекс v — от var).

Подгонка моделей связана с такой корректировкой значений пара-
метров Р и начальных условий переменных Х _i (i =1, n), которая прибли-
жала бы модель к описываемой ею реальной системе при сохранении
выбранной структуры и базовых уравнений. Например, пусть у реальной системы измеряется конкретная характеристика Y _n, в определенные моменты времени t₁, t₂,..., t _nи соответственно фиксируются значения у₁, у₂,..., у_n. При тех же условиях по модели фиксируем состояния
Y₁,Y₂,..., Y_n, где Y_i — прогнозируемые величины характеристик системы. Если имеется разница между значениями у_i и У_i, то ее величина
называется невязкой и обозначается как

И можно вычислить сумму квадратов невязок

где а _i — некоторый весовой коэффициент, который применяется в случае, когда невязки r _iимеют разную качественную значимость. При этом

а ₁ + а ₂+...+ a _n = l.

Сумма невязок используется в качестве меры близости модели
к ее прототипу и может быть разбита на две составляющие

R = R _ад +R_е

где R _ад — отражает неадекватность модели прототипу;

R_е — ошибки в экспериментальных данных.

Величина R рассматривается как зависимая от параметров сис-
темы Р _1, Р _2, ..., Р _kпоэтому ожидаемое значение R_е определяется по
формуле

R_е =(n — k) σ²,

где n — число измерений;

k — число параметров;

σ ² — дисперсия ошибки.

Зависимость R от параметров Р _i (i =1, k) может быть записана
как

R=R (P ₁ ,P ₂ ,..., P _k)

Для определения минимума функции R(P) используют методы:
наименьших квадратов, градиентный и др.

В качестве критерия чувствительности модели, где величина Y _i.
прогнозируется в заданный момент времени и известен параметр, от
которого зависит эта величина, рекомендуется безразмерная вели-
чина

где σ P _i — малое приращение параметра;

σY_i — приращение Y_i вследствие изменения параметра P _i

Параметры, для которых S(Y _i, Р _i ) >1, сильно влияют на выход-
ной показатель, и наоборот.

Дата добавления: 2015-04-24