Элементы теории подобия, применяемые в моделировании

Следующим шагом построения системы является формирование математической модели, включающее в себя несколько видов работ: математическую формализацию, численное представление, анализ модели и выбор метода ее решения.

Математическая формализация осуществляется по концептуальной модели. При формализации рассматривают три основные ситуации:

1) известны уравнения, описывающие поведение объекта. В этом
случае решением прямой задачи можно найти реакцию объекта на
заданный входной сигнал;

2) обратная задача, когда по заданному математическому описанию и известной реакции необходимо найти входной сигнал, вызывающий этот отклик;

3) математическое описание объекта неизвестно, но имеются или
могут быть заданы совокупности входных и соответствующих и выходных сигналов. В этом случае имеем дело с задачей идентификации объекта.

При моделировании производственно-экологических объектов в
третьей ситуации при решении задачи идентификации используется
подход, предложенный Н. Винером, и известный как метод «черного
ящика». В качестве «черного ящика» рассматривается объект в целом,
вследствие его сложности. Так как внутреннее устройство объекта неизвестно, мы можем изучить «черный ящик», найдя входы и выходы.
Сопоставляя входы и выходы, можно написать соотношение

Y = АХ,

где Х — вектор входных параметров;

Y — вектор выходных параметров;
А — оператор объекта, преобразующий Х в Y.

Для описания объекта в виде математической зависимости в
задачах идентификации используются методы регрессивного анализа. При этом возможно описание объекта множеством математических моделей, так как нельзя вынести обоснованного суждения о его
внутреннем устройстве.

Основой выбора метода математического описания является знание физической природы функционирования описываемого объекта,
достаточно широкого круга эколого-математических методов, возможностей и особенностей ЭВМ, на которой планируется проведение
моделирования. Для многих рассматриваемых явлений имеется достаточно много известных математических описаний и типовых математических моделей. При развитой системе математического обеспечения ЭВМ целый ряд процедур моделирования можно осуществить
с помощью стандартных программ.

Оригинальные математические модели можно написать на основе проведенных исследований систем и апробированных в реальной обстановке. Для проведения новых исследований такие модели
корректируются под новые условия.

Математические модели элементарных процессов, физическая
природа которых известна, записываются в виде тех формул и зависимостей, которые установлены для этих процессов. Как правило, статические задачи выражаются в виде алгебраических выражений, динамические — в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений.

Если целевая функция представлена в виде выражения

Y = f (x ₁, x ₂ ,..., х_q, р, Е),

то формализация критерия оптимальности переводит целевую функцию в оптимизационную, т.е.

q = 1, q

Численное представление модели производится для подготовки
ее к реализации на ЭВМ. Задание числовых значений трудностей не
представляет. Осложнения встречаются при компактном представлении обширной статистической информации и результатов экспериментов.

Основными методами преобразования табличных значений к
аналитическому виду являются: интерполяция, аппроксимация и экстраполяция.

Интерполяция – приближенное, или точное нахождение какой-
либо величины по известным отдельным значениям этой же или
других величин, связанных с ней. Например, через любые n+1 точ-
ки можно всегда провести кривую, описываемую полиномом n-ой
степени так, чтобы она прошла через каждую из заданных точек а ₁,
а ₂, ..., а_n. Эта кривая называется интерполирующей. Здесь применяется метод Ньютона или Лагранжа.

Аппроксимация — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация
позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов. Например, для приближения заданной функции f( х)
выбирают аппроксимирующую функцию Ф(х) из классов математи-
ческих функций, в наибольшей степени соответствующих специфи-
ке протекания исследуемого процесса.

Экстраполяция — продолжение функции за пределы ее области
определения, при котором продолженная функция принадлежит заданному классу. Экстраполяция функции обычно производится с по-
мощью формул, в которых использована информация о поведении
функций в некотором конечном наборе точек, называемых узлами
экстраполяции, принадлежащими кобласти определения.

Формальная экстраполяция сводится к математически оптимальной подгонке исходного статистического ряда к какой-либо аппроксимирующей функции. Критерием оптимальности здесь может выступать близость точек ряда к аппроксимирующей функции.

Прогнозная экстраполяция строится на основе математического
анализа исходного ряда с учетом логики и существа развития объекта,
его физики и абсолютных пределов.

Следующим этапом построения является анализ полученной модели и выбор метода еерешения. Основой для вычисления значений выходных характеристик модели служит составленный на ее
базе алгоритм решения задачи на ЭВМ. Разработка и программирование такого алгоритма, как правило, не встречают принципиальных трудностей.

Более сложной является организация вычислительного процесса для определения выходных характеристик, лежащих в допустимых областях, особенно для многофакторных моделей. Еще сложнее — поиск решений по оптимизационным моделям. Самая совершенная и адекватная описываемому объекту математическая модель
без нахождения оптимального значения бесполезна, она не может
быть использована.

Основную роль при разработке алгоритма поиска оптимальных
решений играют характер факторов математической модели, число
критериев оптимальности, вид целевой функции и уравнений связи.
Вид целевой функции и ограничений определяет выбор одного из
трех основных методов решения эколого-математических моделей:

• аналитического исследования;
• исследования при помощи численных методов;
• исследования алгоритмических моделей с помощью методов экспериментальной оптимизации на ЭВМ.

Аналитические методы отличаются тем, что помимо точного
значения искомых переменных они могут давать оптимальное решение в виде готовой формулы, куда входят характеристики внешней среды и начальные условия, которые исследователь может изменять в широких пределах, не меняя самой формулы.

Численные методы дают возможность получить решение путем
многократного вычисления по определенному алгоритму, реализующему тот или иной численный метод. В качестве исходных данных для вычисления используются числовые значения параметров
объекта, внешней среды и начальных условий. Численные методы
являются итеративными процедурами: для проведения следующего
шага расчетов (при новом значении управляемых переменных) ис-
пользуются результаты предыдущих расчетов, что позволяет получать в процессе вычислений улучшенные результаты и тем самым
находить оптимальное решение.

Свойства конкретной алгоритмической модели, на которой базируется алгоритм поиска оптимального решения, например ее линейность или выпуклость, могут быть определены только в процессе экспериментирования с ней, в связи, с чем для решения моделей
этого класса используются так называемые методы экспериментальной оптимизации на ЭВМ. При использовании этих методов
производится пошаговое приближение к оптимальному решению на основе результатов расчета по алгоритму, моделирующему работу
исследуемой системы. Методы базируются на принципах поиска
оптимальных решений в численных методах, но в отличие от них
все действия по разработке алгоритма и программы оптимизации
выполняет разработчик модели.

Имитационное моделирование задач, содержащих случайные
параметры, принято называть статистическим моделированием.

Заключительным шагом создания модели является составление ее
описания, которое содержит сведения, необходимые для изучения мо-
дели, ее дальнейшего использования, а также все ограничения и допущения. Тщательный и полный учет факторов при построении модели
и формулировке допущений позволяет оценить точность модели, избежать ошибок при интерпретации ее результатов.

IV-й этап. Вычисления. При решении задачи необходимо тщательно разобраться с размерностью всех величин, входящих в математическую модель, и определить границы (пределы), в которых
будет лежать искомая целевая функция, а также требуемую точность вычислений. Если возможно, то вычисления проводятся при
неизменных условиях по несколько раз, чтобы убедиться, что целевая функция не изменяется.

V-й этап. Выдача результатов. Результаты исследования объекта
могут выдаваться в устной или письменной форме. Они должны включать в себя краткое описание объекта исследования, цели исследования,
математическую модель, допущения, принятые при выборе математической модели, основные результаты вычислений, обобщения и выводы.

При разработке экологических моделей часто используется подход
так называемого условного моделирования.

Условное моделирование — это замещение оригинала условной
моделью, представляющей его только благодаря определенной договоренности о смысле, приписанном этой модели. Условными являются, прежде всего, знаковые модели. Знак или символ — это
искусственный образ, чисто условно обозначающий вполне определенный объект и, как правило, не имеющий с этим объектом ника-
кого сходства.

Отдельный знак — условная простейшая модель с ограниченными моделирующими возможностями. Он условно обозначает вещь,
явление, действие, событие, свойство и т.д., однако, в случае применения нескольких знаковых моделей, т.е. системы знаков, эти
возможности резко возрастают.

Условными являются также образно-знаковые модели, которые
отличаются наглядностью и могут обладать определенным сходством
с оригиналом, например схемы с указанием входов и выходов. К
знаковым и образно-знаковым моделям относят все математические
формы выражения количественных отношений между переменными и постоянными величинами (функции, уравнения, графики, таблицы, алгоритмы).

При описании материальных объектов и составлении знаковых
моделей приходится иметь дело с количественными отношениями. В
описании материальных объектов в общем случае физическая величина Х — это некоторое свойство материального объекта, допускающее
количественное выражение, например: длина L, объем V, масса М.
Вообще количественное выражение физической величины Х в конкретном материальном объекте можно записать через Х — это размер
данной физической величины.

Для определения размера Х, физической величины данного объекта, требуется измерить этот размер, т.е. сравнить его с некоторой
мерой{x} той же физической величины другого объекта, принятого
за единицу. В результате измерения устанавливается числовое значение размера Х

= Х /{ x }

и размер выражается через числовое значение х и единицу {x},

Х = { х }.

Символы Х, , { x } моделируют размер, числовое значение и
единицу физической величины Х. Знак «=» означает равенство
объектов-оригиналов, символические модели которых расположены
справа и слева от него. Логическое соединение символов мы называем формулами.

Говорить о равенстве тех или иных объектов можно, только
если они однородны. В случае однородности объектов-оригиналов
говорят и об однородности их символических моделей. Размер Х не
зависит от единицы (x). От единицы зависит только числовое значение этого размера.

Физические величины, определяющие те или иные параметры
экологических объектов, размеры единиц которых выбираются произвольно, называются основными. Единицы измерения всех остальных физических величин выражают через основные единицы и называют производными.

Дата добавления: 2015-04-24