КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Модели процессов содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения
Лекция 12. Многие экологические процессы развиваются во времени и Определение состояния процесса означает оценивание зависимых переменных этого процесса. Можно различить три типа 1) интерполяция (сглаживание), если t < ti; Если модель процесса представляет собой дифференциальное уравнение, то эксперименты следует проводить по планам, которые должны давать независимые ошибки при измерениях, а модель, коэффициенты которой требуется оценить, должна быть адекватной. Модель должна содержать: дифференциальные уравнения и граничные и(или) начальные условия. Последние необходимы для В модели с начальными значениями, содержащей одно дифференциальное уравнение, число задаваемых начальных условий В модели с граничными значениями соответствующее число Простейшей моделью является обыкновенное дифференциальное
которое имеет решение , где τ — переменная интегрирования; α — коэффициент; у — зависимая переменная, которая называется состоянием t — независимая переменная, которая может быть не только у0 — не зависящее от времени начальное условие; x(τ) — детерминированная входная функция (возмущающая сила).
Для того чтобы получить наблюдаемую зависимую переменную Y(ti) = y(ti)+ ε(t i),
а для непрерывных переменных Y(i) = y(t)+ ε(t) Если параметр, αзаменить его оценкой , то остаточная ошибка Е(t) = Y(t) - (t). Целью оценивания параметров является получение значения параметра, а в процессе наблюдений Y(ti) и Y(t). Чтобы сделать это, Более общей является модель, содержащая систему линейных .
Рис. 12.6. Многомерный процесс с несколькими входами В матричной форме модель имеет вид:
, . ; Y= ; Х = . Тогда решение можно записать в форме . Модель, содержащую одно или несколько линейных дифференциальных уравнений более высокого порядка с постоянными , можно преобразовать в модель, содержащую систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, следующим
Тогда уравнение второго порядка будет представлено в виде , , однако функция, а в действительности является производной. Общая нелинейная модель первого порядка имеет вид , где F (α ,Y,t)представляет собой весьма общую нелинейную функцию. Уравнение, за редким исключением, не имеет аналитического решения и его следует решать численными методами. Вследствие трудностей получения аналитических решений для эксперименты должны быть поставлены так, чтобы измерялся вектор производных dy/dt а не сам вектор Y. Если наблюдаемой Другой способ (менее удовлетворительный) позволяет избежать операций с производными при оценивании. Он состоит в использовании численных значений производных, полученных по наблюдениям величины Y. Вычисленные производные содержат два основных вида ошибок: вводимые при использовании численной схемы и случайные Исследуем численную оценку. Численное дифференцирование детерминирова-нных переменных предусматривает вычисление dy/dt или Большинство схем аппроксимации для производных можно записать в общей форме )
где аi— постоянные;
D — дифференциальный оператор;
k — порядок производной;
h — фиксированное приращение независимой переменной;
(m +1) — число используемых опорных точек. Следовательно, дисперсию производной можно оценить с по-
.
Если принять дисперсии всех величин уi, равными друг другу, то
. Отсюда видно, что чем меньше интервал h и чем больше членов в формуле, тем больше ошибка в производной. Эта ошибка Пример. В табл. 12.4 представлены численные ошибки для не- Таблица 12.4
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 746; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |