КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тема 2. Предел ФНП
Упражнения. I. Найти и изобразить на координатной плоскости области определения следующих функций. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . II. Найти множество значений следующих функций. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . III. Найти линии или поверхности уровня следующих функций. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 R 2, если выполняются условия: 1) - предельная точка множества R 2; 2) . Здесь – проколотая шаровая или кубическая окрестность точки в пространстве R 2. Для обозначения предела функции двух переменных используют запись или . Напомним определения кубической и шаровой окрестностей точки в пространстве R n. Шаровой e-окрестностью точки R nрадиуса e, e > 0, называется множество Кубической h-окрестностью с ребром 2 h (h >0) точки R nназывается множество R n . Используя эти определения можно дать следующие определения предела функции f в точке. Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 R 2, если выполняются условия: 1) - предельная точка множества R 2; 2) . Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 R 2, если выполняются условия: 1) - предельная точка множества R 2; 2) . Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций, аналогичные соответствующим теоремам для функций одного переменного. Эти теоремы и переход к новым переменным применяются при вычислении пределов. В случае возможна замена координат (x, y) на полярные координаты по формулам , , где 0 £ j £ 2 p. При этом происходит переход к , где . Заметим, что из выполнения равенства при любом j, 0 £ j £ 2 p, еще не следует, что . Последнее равенство будет выполняться, если при r ® 0 функция F (r, j) ® C равномерно по j. Это имеет место, если , где l > 0, а функция y (r, j) ограничена при 0 < r < a, 0 £ j £ 2 p. В некоторых случаях возможны и другие замены переменных, которые позволяют перейти к пределу функции одной переменной. Замена переменной позволяет также установить отсутствие предела. Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке R 2 по множеству R 2, если выполняются условия: 1) - предельная точка множества M Ç D (f); 2) . Отсюда следует, что предел функции z = f (x; y) в точке не существует, если по двум различным множествам и эта функция имеет различные пределы в точке . Повторными пределами функции z = f (x; y) в точке называют выражения и . Чтобы найти, например, повторный предел , сначала вычисляют предел функции z = f (x; y) при , считая x – постоянной. В результате получают некоторую функцию переменной x и находят ее предел при . Повторные пределы, вообще говоря, не равны между собой и не равны пределу функции f (x; y) в точке . В то же время, из существования (отсутствия) предела функции в точке еще не следует существования (отсутствия) в этой точке ее повторных пределов. Пример 1. Доказать, что . Решение. Областью определения функции является множество . Воспользуемся определением Коши предела функции в точке. Точка (0, 0) – предельная точка . Докажем, что Рассмотрим левую часть последнего неравенства цепочки. Так как при , имеем . Потребовав выполнимости последнего неравенства, получаем, что при имеет место доказываемая цепочка (1). Пример 2. Вычислить предел . Решение. Имеем . Пример 3. Найти предел функции в точке (0, 0) по прямой , , ; доказать, что не существует. Решение. Функция определена на всей плоскости, за исключением точки (0, 0). Так как при , то предел функции в точке (0, 0) по каждой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю. Из того, что предел функции f по любой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю в точке (0, 0), еще не следует, что предел функции f в этой точке существует и равен нулю. Подберем какую-нибудь кривую, проходящую через точку (0, 0), по которой предел функции в данной точке не равен нулю. Например, для параболы имеем , т.е. предел функции f в точке (0, 0) по кривой равен 1/2. Таким образом, получаем, что пределы функции f в точке (0, 0) по двум различным множествам (любая из указанных прямых и параболы ) различны. Тем самым доказано, что не существует. Пример 4. Найти повторные пределы функции в точке (0, 0). Решение. Имеем , , т.е. повторные пределы функции u в точке (0, 0) не равны между собой.
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 1004; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |