Особенности нестационарных систем

18)

Пусть уравнения движения системы управления могут быть приведены к виду:

, где

a_ij(t) – некоторые вещественные функции времени,

f_i(t) – внешнее воздействие.

Приведенная система в общем виде называется нестационарной линейной системой. В матричной форме:

, где

- переменная квадратная матрица размера nxn,

- матрицы–столбцы состоящие из n строк.

Если a_ij – все постоянны, то система является стационарной.

Существуют методы с помощью которых при известных условиях из приведенной системы можно получить одно уравнение относительно любой заданной координаты x_i:

, где

f – входная координата системы,

x_i – выходная координата,

- переменные коэффициенты.

Нестационарные системы подразделяются на внутренние нестационарные и внешние нестационарные.

Внутренне нестационарные по отношению к переменным x_i(t) называются системы, уравнения свободного движения которых по этой координате имеет переменные во времени параметры (коэффициенты p_i(t)), при этом система нестационарная в указанном смысле, если переменен хотя бы один из коэффициентов p_i.

Система управления является внешне нестационарной по отношению к конкретной входной и выходной переменной, если вид процесса по выходной координате зависит от выбора момента времени, в который начинает действовать входной сигнал. Очевидно, это связанно с коэффициентом , если непостоянна, то система не зависела бы от времени начала действия входного сигнала.

Например. Если в уравнении все коэффициенты p_i(t) постоянны и хотя бы один изменяется во времени, то система, по отношению к рассматриваемой координате, будет внутренне стационарна, а внешне нестационарна.

На практике часто встречаются случаи, когда экспериментально или расчетно полученные коэффициенты (параметры уравнения движения) не могут быть выражены в элементарных функциях.

5.2. Метод “замороженных” коэффициентов.

Сложности, возникающие при исследовании не стационарных линейных систем, заставляют применять при инженерных расчетах приближенные методы. Практика показала, что использование упрощенных способов расчета с последующим уточнением и проверками в большинстве случаев является оптимальным с точки зрения затрат времени и качества конечных результатов.

Одним из наиболее распространенных приближенных методов расчета линейных нестационарных систем является метод «замороженных» коэффициентов. Этот метод предполагает использование гипотезы о квазистационарности исследуемой нестационарной линейной системы. Суть этой гипотезы состоит в предположении, что при достаточной медленности изменения во времени коэффициентов уравнения движения. Производные этих коэффициентов пренебрежимо мало влияют на устойчивость и качество системы управления и их можно не учитывать в расчетах. Таким образом, при использовании гипотезы квастационарности принимаются во внимание лишь мгновенные значения коэффициентов в рассматриваемых точках по времени. Это позволяет применить все средства, используемые при исследовании линейных стационарных систем. При этом возникает необходимость обоснований, с достаточной степенью справедливости, применение гипотезы квазистационарности в каждом конкретном случае.

Условия применимости гипотезы квазистационарности и метода «замороженных» коэффициентов при исследовании нестационарных линейных систем.

Максимально допустимая величина отрезка времени, на котором еще соблюдается при «замораживании» достаточная точность расчета значений выходной координаты должна превышать время регулирования по этой координате на указанном отрезке.

1. Не один из коэффициентов р(t) уравнения движения нестационарной линейной системы не должен менять знак, либо равным нулю на всем отрезке времени функционирования системы.

2. Чем медленнее изменяются коэффициенты р(t) во времени, тем точнее получаются результаты расчета при использовании метода «замороженных» коэффициентов. Важна не столько абсолютная скорость изменения коэффициентов на любом из отрезков, сколько относительные величины изменений коэффициентов р(t).

, где

- наибольшее и наименьшее значение p_k на рассматриваемом отрезке.

Дата добавления: 2015-04-29